Question

Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120 градусов. Найдите длину гипотенузы, если известно, что сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см​

Answer 1

Внешний и внутренний углы являются смежными, 180-120=60. Другой острый угол равен 90-60=30. Против меньшего угла лежит меньший катет. Катет против угла 30 равен половине гипотенузы.

c+a=18, a=с/2 => 3/2 c =18 <=> c=12 (см)

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, которая гласит:

гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2

В данной задаче у нас есть следующие данные:

1. Один из внешних углов прямоугольного треугольника равен 120 градусов. Это означает, что другие два внутренних угла равны 30 градусов и 90 градусов.
2. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см.

Обозначим длины катетов как a и b, а длину гипотенузы как c. Тогда у нас есть два уравнения:

1. a^2 + b^2 = c^2 (теорема Пифагора)
2. a + c = 18 (сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см)

Мы можем найти a, зная, что один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам, а значит, катеты образуют прямоугольный треугольник равностороннего типа. В таком треугольнике соотношение между гипотенузой и катетами равно:

гипотенуза = катет * √3

Так как a и b оба являются катетами, то a = b. Теперь можем переписать уравнения:

1. a^2 + a^2 = c^2
2. a + c = 18

Из уравнения (1) имеем:

2a^2 = c^2

Теперь, подставив выражение для c^2 из уравнения (2), получим:

2a^2 = (18 - a)^2

Раскроем скобки:

2a^2 = 324 - 36a + a^2

Перенесем все в одну сторону уравнения:

a^2 + 36a - 324 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. Можно заметить, что оно факторизуется:

(a - 6)(a + 42) = 0

Таким образом, получаем два значения a: a = 6 см и a = -42 см. Отрицательное значение не имеет смысла в контексте задачи, поэтому отбросим его.

Теперь, когда у нас есть значение a, можем найти длину гипотенузы c, используя второе уравнение:

c = 18 - a c = 18 - 6 c = 12 см

Итак, длина гипотенузы составляет 12 см.