Question

Докажите что высота у ровнобедренного треугольника является медийной и биссектрисой.​

Answer 1

Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB = BC и основанием AC.

Опустим из вершины B высоту BH на основание AC.

Рассмотрим треугольники ABH и BCH.

Так как BH - высота, то углы BHA = BHC = 90°, т.е. треугольники ABH и BCH - прямоугольные.

Заметим, что AB = BC, т.е. гипотенузы треугольников ABH и BCH равны и у них общий катет BH.

Следовательно, треугольники ABH и BCH конгруэнтны по гипотенузе и катету.

Отсюда вытекает, что AH = CH, а это означает, что BH является медианой.

Также из равенства треугольников ABH и BCH имеем, что углы ABH = CBH.

Следовательно, BH является биссектрисой угла ABC.

Answer 2

Докажем, что в ровнобедренном треугольнике высота из вершины у основания является одновременно медианой и биссектрисой.

Пусть у нас есть ровнобедренный треугольник ABC с основанием AB и вершиной C. Проведем высоту CH из вершины C к основанию AB. Также, пусть точка M - середина стороны AC.

Докажем сначала, что высота CH является медианой.

Доказательство:

1. Так как треугольник ABC ровнобедренный, то стороны AC и BC равны между собой: AC = BC.
2. Точка M - середина стороны AC, следовательно, AM = MC.
3. В треугольнике AMC у нас две равные стороны: AM = MC и CM общая, поэтому треугольник AMC является равнобедренным.
4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины к основанию, делит основание пополам и перпендикулярна ему.
5. Таким образом, высота CH, проведенная из вершины C, делит сторону AB пополам, и CH является медианой.

Теперь докажем, что высота CH также является биссектрисой.

Доказательство:

1. Вспомним, что в ровнобедренном треугольнике ABC лежащие против основания углы равны: ∠CAB = ∠CBA.
2. Проведем отрезок CM, который является медианой. Тогда у нас получится два равных треугольника CMA и CMB, так как у них равны стороны CM и общий угол при вершине C.
3. Из равенства углов ∠CMA = ∠CMB следует, что угол ∠CMT (где T - точка пересечения высоты CH с базой AB) также делится пополам и равен половине угла ∠CAB (или ∠CBA).
4. Значит, высота CH, проведенная из вершины C, делит угол ∠CAB пополам и является биссектрисой.

Таким образом, высота CH в ровнобедренном треугольнике ABC одновременно является медианой и биссектрисой.