Question

B треугольник MNP точка K лежит на стороне MN, LNKP острый докажите что KP меньше MP

Answer 1

Острый угол - угол, равный меньше 90°

∠MKP = 180 - ∠NKP (смежные)

Если угол ∠NKP - острый, то смежный с ним (∠MKP) будет тупым.

Рассмотрим ΔMKP

Если один из углов треугольника тупой, то два остальных - острые.

==> ∠K - тупой, ∠M и ∠P - острые

Против большего угла лежит большая сторона

Естественно, тупой угол больше острого.

∠K лежит против стороны MP, ∠M лежит против стороны KP

И т. к. ∠K - тупой, против него будет лежать большая сторона MP,

∠M - острый, против него будет лежать сторона поменьше

==> KP < MP

Ч. т. д.

Answer 2

Для доказательства неравенства KP < MP в остроугольном треугольнике MNP с точкой K на стороне MN, используем теорему о неравенстве треугольника.

Теорема о неравенстве треугольника гласит, что в любом треугольнике сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны.

В нашем случае, сравним стороны треугольника MNP: MP и KP.

По условию, точка K лежит на стороне MN, следовательно, MK + KN = MN.

Теперь докажем, что KP < MP, используя неравенство треугольника для треугольников MKN и MPK:

1. Для треугольника MKN: MN = MK + KN KN < MN (так как KN - это часть стороны MN) MK < MN (так как MK - это часть стороны MN)

   Следовательно, MK + KN < 2 * MN.

2. Для треугольника MPK: MP < MK + KP (так как KP - это часть стороны MP) MK < MP (так как MK - это часть стороны MP)

   Следовательно, MK + KP < 2 * MP.

Теперь объединим два неравенства:

MK + KN < 2 * MN MK + KP < 2 * MP

Так как KN < MN (из первого неравенства), то заменим MK + KN во втором неравенстве на MN:

MN < 2 * MP

Теперь поделим обе стороны на 2:

MN / 2 < MP

Из этого следует, что KP (как часть стороны MP) меньше, чем MP:

KP < MP

Таким образом, доказано, что в остроугольном треугольнике MNP с точкой K на стороне MN выполняется неравенство KP < MP.