Question

Смежные и вертикальные углы (2 определение и доказательство 2 теорем)

Answer 1

---------------------

Answer 2

Смежные углы и вертикальные углы являются важными понятиями в геометрии. Давайте определим каждый из них и рассмотрим две теоремы, связанные с этими углами.

1. Определение смежных углов: Смежные углы - это два угла, которые имеют общую вершину и общую сторону между этой вершиной. Формально, два угла A и B называются смежными, если они удовлетворяют условию:

• Угол AOB и угол BOC являются смежными углами, если они имеют общую вершину O и общую сторону OB.

2. Определение вертикальных углов: Вертикальные углы - это пары углов, расположенных друг напротив друга, образованные пересекающимися прямыми линиями. Формально, если две прямые линии пересекаются в точке O, то углы, образованные этой пересекающейся системой прямых, называются вертикальными углами.

Теперь рассмотрим две теоремы, связанные с смежными углами и вертикальными углами:

Теорема 1: Смежные углы дополнительны. Если у двух смежных углов сумма их мер равна 180 градусов, то каждый из этих углов называется дополнительным к другому.

Доказательство: Пусть угол AOB и угол BOC - смежные углы, и их сумма равна 180 градусов, т.е. m∠AOB + m∠BOC = 180°. Мы знаем, что углы AOB и BOC образуют прямую линию, и сумма их мер равна 180°. Таким образом, угол AOB и угол BOC являются дополнительными углами друг к другу.

Теорема 2: Вертикальные углы равны. Если две прямые линии пересекаются, то углы, образованные этой пересекающейся системой прямых и лежащие по разные стороны от пересечения, являются вертикальными углами и равны между собой.

Доказательство: Пусть AB и CD - пересекающиеся прямые, образующие четыре угла: ∠A, ∠B, ∠C и ∠D. Поскольку прямые AB и CD пересекаются, то они образуют углы на противоположных сторонах от пересечения. Таким образом, ∠A и ∠C, ∠B и ∠D являются вертикальными углами. Поскольку углы ∠A и ∠C образованы параллельными прямыми и пересекающейся прямой, они равны между собой. То же самое верно для углов ∠B и ∠D. Следовательно, вертикальные углы ∠A и ∠C равны между собой, а также вертикальные углы ∠B и ∠D равны между собой.