Question

В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен альфа. Найдите объем пирамиды, если боковое ребро - l

Answer 1

Двугранный угол при ребре основания - это угол наклона боковой грани к основанию. Он равен плоскому углу между апофемой и её проекцией на основание.

Примем сторону основания за а. Тогда проекция апофемы равна (а/2).

Отсюда апофема А равна (а/2)/cosα =a/(2cos α).

Возведём в квадрат: А² = а²/(4cos² α).

С другой стороны, апофема как высота боковой грани равна:

А² =  L² - (a/2)².

Приравняем а²/(4cos² α) =  L² - (a/2)²

Отсюда получаем  а² = (4L²cos² α)/(1 + cos² α).

Высота Н пирамиды равна:

H = (a/2)*tg α =  (2Lcos α)*tg α/(2√(1 + cos² α)).

Объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)*(4L²cos² α)/(1 + cos² α)*((2Lcos α)*tg α/(2√(1 + cos² α))).

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, у которой двугранный угол при ребре основания равен альфа, и боковое ребро равно l, нужно знать еще один параметр пирамиды, такой как длина ребра основания (a) или высота пирамиды (h).

Для решения данной задачи предположим, что известна длина ребра основания (a). Обозначим за h высоту пирамиды, а за S - площадь основания.

Зная, что угол между боковым ребром и грани пирамиды равен альфа, и что основание пирамиды - четырехугольник, можно применить теорему косинусов для нахождения высоты пирамиды (h) и площади основания (S):

cos(α) = (l^2 + l^2 - a^2) / (2 * l * l), cos(α) = (2l^2 - a^2) / (2l^2), a^2 = 2l^2 * (1 - cos(α)).

Теперь, зная площадь основания (S) и высоту (h), можно найти объем (V) правильной четырехугольной пирамиды:

V = (1/3) * S * h.

Итак, для нахождения объема пирамиды, вам необходимо знать длину ребра основания (a). Если эта информация есть, то можно вычислить а^2, затем вычислить S и h, и наконец, найти V, используя формулу для объема.