Question

Пожалуйста помогите! В четырехугольнике две противоположные стороны имеют равную длину, а два его противоположных угла равны 90 градусов. Докажите, что все углы этого четырёхугольника прямые.

Answer 1

Ответ:

ABCD - данный четырехугольник.

∠А = ∠С = 90°

АВ = CD.

Проведем диагональ BD.

Рассмотрим треугольники ABD и CDB:

∠А = ∠С = 90°

АВ = CD - по условию,

BD - общая гипотенуза, значит

ΔABD =  ΔCDB по катету и гипотенузе.

Следовательно, ∠1 = ∠2 и ∠3 = ∠4.

____________

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Тогда ∠1 + ∠4 = 90°.

Учитывая, что ∠1 = ∠2, получаем: ∠2 + ∠4 = 90°, то есть

∠ADC = 90°.

Учитывая, что ∠3 = ∠4, получаем: ∠1 + ∠3 = 90°, то есть

∠АВС = 90°.

Значит, все углы этого четырехугольника прямые.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойствами четырёхугольников.

Пусть у нас есть четырёхугольник ABCD, где AB = CD и углы A и C равны 90 градусов.

Шаг 1: Докажем, что угол B равен 90 градусов.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C. Мы знаем, что угол A равен 90 градусов. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол B равен 180 - 90 - угол A = 90 градусов.

Шаг 2: Докажем, что угол D равен 90 градусов.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник BCD с прямым углом в точке C. Мы уже доказали, что угол B равен 90 градусов. Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол D равен 180 - 90 - угол C = 90 градусов.

Таким образом, углы B и D оба равны 90 градусов.

Шаг 3: Докажем, что углы A и C также равны 90 градусов.

Мы знаем, что противоположные углы четырёхугольника равны. Таким образом, угол A равен углу C. Но мы уже доказали, что угол C равен 90 градусов, значит, угол A также равен 90 градусов.

Таким образом, все углы этого четырёхугольника ABCD равны 90 градусов, что означает, что каждый угол является прямым углом.