Question

Диагональ равнобедренной трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 10 см и 8 см. Найдите площадь трапеции, если ее меньшее основание равно боковой стороне трапеции.

Answer 1

   Пусть в трапеции АВСD (BC||AD) диагональ пересекает высоту ВН в точке О, ВО=10 см, ОН=8 см. Примем ВС=AB=CD=а, АD=b.

   Диагональ АС и высота ВС при пересечении образуют с частью оснований прямоугольные треугольники,  подобные по равным острым углам (при О и накрестлежащим ВСА=СAD). Коэффициент подобия k=ОН:ОВ=8:10=0,8. Поэтому  АН=0,8а.  

  Из ∆ ВАН по т.Пифагора АВ²-АН²=ВН²⇒  а²-0,64а²=0,36а²⇒а=30 см. ⇒  АН=0,8•30=24 см

  В равнобедренной трапеции высота из тупого угла делит основание, к которому проведена, на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, а больший - их полусумме. ⇒

   АН=(b-a)/2, HD=(b+a)/2. Из найденного выше (b-a):2=24,⇒ b-30=48 ⇒b=48+30=78.

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований. Высота ВН=ВО+ОН=18 см,  полусумма оснований (a+b):2=(30+78):2=54 см. S(ABCD)=18•54=972 см²

Answer 2

Пусть АВСД - данная трапеция. ВС║АД, Диагональ АС пересекается с высотой трапеции ВТ в точке О, ВС=АВ=СД=х, Проведем еще одну высоту СF=FТ=х, FД=АТ=у, ВО=10, ТО=8, треуг. СFА и ОТА подобны по двум углам, по прямому и общему углу А, составим пропорцию, СF/ОТ=FА/ТА, или у/8=(х+у)/18, (18-8)*у=8х, откуда х=0, 8у, 18²+у²=х², 18²=х²-0,64х², 0,36х²=18², откуда модуль икс равен 30, т.к. это сторона, то положит. х=30, тогда у=0,8*30=24, а площадь равна

((2х+2у)*18/2)=(30+24)*18=972/см²/

Ответ 972 см²

Answer 3

Давайте обозначим данную трапецию и её параметры:

• Пусть ABCD — равнобедренная трапеция, где AB и CD — основания, BC и AD — боковые стороны, и BC = AD.
• Пусть H — высота, проведенная из вершины тупого угла A.

Из условия задачи, диагональ AC делит высоту H на отрезки длиной 10 см и 8 см:

AH = 10 см HC = 8 см

Также известно, что равнобедренная трапеция имеет равные углы при основаниях AB и CD.

Мы можем применить теорему Пифагора к треугольнику AHC, чтобы найти длину диагонали AC:

AC^2 = AH^2 + HC^2 AC^2 = 10^2 + 8^2 AC^2 = 100 + 64 AC^2 = 164 AC = √164 AC ≈ 12.81 см

Теперь, когда у нас есть диагональ AC и одна из оснований (BC = AD), мы можем найти площадь трапеции.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: S = (1/2) * (сумма оснований) * (высота).

Сумма оснований AB и CD: AB + CD = BC + AD = 2 * BC (так как BC = AD).

Теперь зная сумму оснований и диагональ AC, можем найти высоту H:

H = AH + HC = 10 см + 8 см = 18 см

Теперь можем вычислить площадь трапеции:

S = (1/2) * (AB + CD) * H S = (1/2) * (2 * BC) * 18 см S = BC * 18 см

Мы знаем, что BC = AD и высоту H, но не знаем значение BC. Однако, у нас есть ещё одно важное свойство равнобедренной трапеции: средняя линия параллельна основаниям и равна полусумме оснований.

Для равнобедренной трапеции BC = AD = (AB + CD) / 2.

Итак, мы можем выразить BC через AC и обозначить его как x:

BC = x AD = x AB + CD = 2x

Теперь мы знаем, что AC = 12.81 см и AB + CD = 2x. Мы также знаем, что AB + CD = 2 * BC, следовательно:

2x = 12.81 см x = 12.81 см / 2 x ≈ 6.405 см

Теперь у нас есть значение BC (и AD), и мы можем вычислить площадь трапеции:

S = BC * H S = 6.405 см * 18 см S ≈ 115.29 кв. см

Ответ: площадь трапеции составляет примерно 115.29 квадратных сантиметров.