Question

В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 8 см, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите апофему этой пирамиды. С даном и с решением сделайте ​

Answer 1

Дано:

a = 8см - сторона основания

α = 45° - угол наклона бокового ребра к плоскости основания

A - ? - апофема

Решение:

Высота h треугольника, лежащего в основании пирамиды

h = a·cos30° = 8·0.5√3 = 4√3

Точка О основания пирамиды, в которую проецируется вершина пирамиды находится на расстоянии 2h/3 от вершины треугольника, лежащего в основании и на h/3 от основания апофемы. Эти расстояния равны соответственно

2h/3 = (8√3)/3 cм   и    h/3 = (4√3)/3 см.

Поскольку боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом α=45°, то высота пирамиды Н = 2h/3 = (8√3)/3 см.

Апофему А тогда найдём по теореме Пифагора

А =√(Н² + (h/3)²) = √(64/3 + 16/3) = √(80/3) = (4√15)/3 ≈ 5,16(см)

Ответ: А = (4√15)/3 ≈ 5,16(см)

Answer 2

Апофема (также называемая радиусом вписанной сферы) правильной треугольной пирамиды - это расстояние от центра основания до вершины пирамиды. Для нахождения апофемы воспользуемся тригонометрическими соотношениями.

Пусть сторона треугольника основания равна a, а боковое ребро (высота треугольной грани) равно h. Также, у нас есть угол между боковым ребром и плоскостью основания, который равен 45°.

Тогда мы можем разделить треугольник основания на два прямоугольных треугольника, так как угол между стороной основания и боковым ребром равен 45°, что делает оба этих треугольника равнобедренными. Таким образом, каждый из прямоугольных треугольников будет иметь катеты, равные половине стороны основания (a/2) и половине бокового ребра (h/2).

Мы можем применить тригонометрическое соотношение для синуса угла 45°:

sin(45°) = противолежащий катет / гипотенуза

sin(45°) = (a/2) / h

h = (a/2) / sin(45°)

Теперь нам нужно найти значение синуса 45°. Значение синуса 45° равно 1/√2.

h = (a/2) / (1/√2)

Теперь подставим значение стороны основания a = 8 см:

h = (8/2) / (1/√2) = 4√2 см ≈ 5.66 см.

Таким образом, апофема этой правильной треугольной пирамиды составляет примерно 5.66 см.