Question

100 балов!!! в треугольнике АВС известно, что угол С =90. Докажите, что: 1)прямая ВС является касательной к окружности с центром А, проходящей через точку С.2) прямая АВ не является касательной к окружности с центром С, проходящей через точку А.пожалуйста с объяснением!!!!!(под первой цифрой я решила, а по поводу второй жутко сомневаюсь)​

Answer 1

Не уверен ,конечно , что правильно , но попробуем :

1)Если окружность проходит через точку С,значит AС - Радиус . Касательная должна быть перпендикулярна радиусу и быть не в окружности .Т.к. по условию  С- прямой угол ,то АС перпендикулярна BC . Если из точки А провести прямую к BC (в точке N) , то в треугольнике  NCA, AN - гипотенуза ,соответственно всегда больше АС,значит прямая BC находится не в окружности  ,значит BC - касательная .

2) Т.к. треугольник ABC- прямоугольный ,а CA - радиус ,то угол CAB всегда меньше 90 ° ,соответственно касательный быть не может .

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый пункт отдельно и докажем утверждения:

1. Прямая ВС является касательной к окружности с центром А, проходящей через точку С.

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ. Угол С прямой, поэтому угол АВС - прямой (угол между касательной и радиусом окружности в точке касания является прямым углом). Также угол В равен 90 градусам (в прямоугольном треугольнике угол, противолежащий гипотенузе, всегда прямой).

Теперь рассмотрим треугольник АСО, где О - центр окружности. Угол АСО также является прямым (радиус перпендикулярен касательной в точке касания).

Из этих двух углов (угол АВС и угол АСО) видно, что они равны, так как оба являются прямыми углами и имеют общую сторону АС. Следовательно, треугольники АСВ и АСО подобны по двум углам.

Так как треугольники подобны, отношение длин сторон в них равно отношению длин соответствующих сторон: AV / AS = AS / AO

Это приводит к следующему: AV * AO = AS^2

Но мы знаем, что AV = AC (стороны равного треугольника), поэтому: AC * AO = AS^2

Таким образом, прямая ВС является касательной к окружности с центром А, проходящей через точку С.

2. Прямая АВ не является касательной к окружности с центром С, проходящей через точку А.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник АСВ. Угол С прямой, поэтому угол В равен 90 градусам (угол, противолежащий гипотенузе в прямоугольном треугольнике). Также угол В равен углу САО (угол между касательной и радиусом окружности в точке касания).

Из этого следует, что треугольники САВ и САО подобны по двум углам. Но это не означает, что прямая АВ является касательной к окружности с центром С, так как подобные треугольники могут иметь только равные соотношения сторон, а у нас есть информация только о равенстве углов.

Таким образом, прямая АВ не является касательной к окружности с центром С, проходящей через точку А.

Вот и доказаны оба утверждения.