Question

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит точкой касания большую боковую сторону на отрезки 8 см и 50 см. Найдите периметр трапеции.

Answer 1

Отрезки большей боковой стороны a=50 и b=8. Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны. Проведем диаметр вписанной окружности, соединив точки касания на основаниях - отсеченные отрезки оснований равны a и b. Опустим высоту из вершины меньшего основания - отсеченный отрезок основания равен a-b. По теореме Пифагора высота равна

h= √((a+b)^2-(a-b)^2) =2√(ab)

Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, равна высоте (расстояние между параллельными постоянно). Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника равны, периметр равен

P= 2(2√(ab)+(a+b)) =2(√a+√b)^2

P= 2(√50+√8)^2 =2(7√2)^2 =196

Answer 2

Чтобы найти периметр трапеции, нам нужно знать её четыре стороны. Давайте обозначим трапецию как ABCD, где AB и CD — основания, а BC и AD — боковые стороны.

Пусть точка касания окружности с боковой стороной BC обозначается как E, а точка касания окружности с боковой стороной AD обозначается как F.

Так как окружность вписана в трапецию, то точки E и F являются точками касания с противоположными сторонами и расстояние от каждой из этих точек до соответствующего основания равно радиусу окружности.

По условию задачи, расстояние от точки E до основания AD равно 8 см, а расстояние от точки F до основания BC равно 50 см. Пусть радиус окружности обозначается как r.

Теперь мы можем составить систему уравнений для нахождения радиуса r:

1. r + r = 8 (расстояние от E до AD равно 8 см)
2. r + r = 50 (расстояние от F до BC равно 50 см)

Решим систему уравнений:

r + r = 8 2r = 8 r = 8 / 2 r = 4

r + r = 50 2r = 50 r = 50 / 2 r = 25

Мы получили два значения для радиуса r: r = 4 и r = 25. Однако радиус окружности не может быть отрицательным, поэтому верно только r = 4 см.

Теперь, чтобы найти периметр трапеции, нам нужно сложить длины всех её сторон. Зная, что BC = 50 см и AD = 8 см, и прибавив два радиуса окружности (по 4 см каждый), мы получим:

Периметр = BC + AD + 2r + 2r Периметр = 50 + 8 + 24 + 24 Периметр = 58 + 8 + 8 Периметр = 74 см

Таким образом, периметр трапеции составляет 74 см.