Question

Бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на відрізки довжини яких 8см і 6 см. Обчисліть висоту та медіану трикутника , які проведені до гіпотенузи . 50 БАЛІВ!!!

Answer 1

1. Если х- коэффициент пропорциональности, а гипотенуза составлена из отрезков 8 и 6, равна 8+6=14/см/,то катеты тогда 8х и 6х, т.к. биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. По теорем ПИфагора

(8х²)+(6х)²=14²

100х²=14², откуда х=1,4, отрицательный корень не подходит по смыслу задачи. Значит, один катет равен 8*1,4=11,2 см, а другой 1,4*6=8,4см.

2. Медиана,  проведенная к гипотенузе, равна ее половине, т.е.

14/2= 7 /см/

3.  Высота, проведенная к гипотенузе,  может быть найдена, как удвоенная площадь треугольника, деленная на гипотенузу, а площадь найдем как половину произведения катетов, т.е. 11,2*8,4/2=94,08/2=47,04/см²/

Высота, проведенная к гипотенузе, равна

2*47,04/14=47,04/7=6,75/см/

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, спочатку знайдемо довжину гіпотенузи трикутника, використовуючи теорему Піфагора, а потім застосуємо властивості бісектриси, висоти та медіани.

Позначимо довжину гіпотенузи як "c". За теоремою Піфагора, відомо, що для прямокутного трикутника:

c^2 = a^2 + b^2,

де "a" та "b" - довжини катетів трикутника.

За умовою задачі, бісектриса прямого кута трикутника ділить гіпотенузу на відрізки довжини 8 см і 6 см. Тобто:

c = 8 + 6 = 14 см.

Тепер знаючи довжину гіпотенузи, можемо обчислити висоту трикутника, проведену до гіпотенузи.

Висота трикутника ділить гіпотенузу на дві частини, відповідно до властивостей подібних трикутників. Нехай "h" - довжина висоти, "x" - відстань від точки перетину бісектриси і гіпотенузи до одного кінця гіпотенузи, тоді другий відрізок гіпотенузи буде мати довжину (14 - x).

Застосуємо подібність трикутників:

h/x = (c - h)/(c - x).

Підставимо відомі значення:

h/x = (14 - h)/(14 - x).

Розв'яжемо це рівняння відносно "h":

h(14 - x) = x(14 - h),

14h - h^2 = 14x - xh,

h^2 + xh - 14x + 14h = 0,

h^2 + 15h - x(14 - h) = 0.

Знаючи, що довжина висоти не може бути від'ємною, оберемо додатній корінь рівняння:

h = (15 + √(15^2 + 4 * 14 * x)) / 2.

Тепер ми можемо обчислити значення висоти, коли x = 6 см:

h = (15 + √(15^2 + 4 * 14 * 6)) / 2 ≈ (15 + √(225 + 336)) / 2 ≈ (15 + √561) / 2 ≈ (15 + 23.67) / 2 ≈ 19.67 / 2 ≈ 9.835 см.

Тепер знаємо довжину висоти трикутника, яка дорівнює приблизно 9.835 см.

Нарешті, обчислимо довжину медіани, проведеної до гіпотенузи. Медіана ділить гіпотенузу навпіл, тому медіана матиме довжину половини гіпотенузи:

медіана = 14 / 2 = 7 см.

Отже, висота трикутника, проведена до гіпотенузи, становить приблизно 9.835 см, а медіана, проведена до гіпотенузи, дорівнює 7 см.