Question

)Бісектриса гострого кута прямокутного трикутника поділяє катет на відрізки завдовжки 6 см і 10 см. Знайдіть площу трикутника.

Answer 1

Катет равен 16 см. Другой катет по свойству биссектрисы равен 6х, а гипотенуза 10х, по теореме Пифагора

100х²=16²+36х²

64х²=16²

х=2

значит, площадь равна 6*2*16/2=32/см²/

Answer 2

Для знаходження площі прямокутного трикутника нам потрібно знати довжини його катетів (прилеглих сторін) або довжину гіпотенузи (протилежної сторони). А також, ми маємо використати властивість бісектриси.

Запишемо властивість бісектриси для гострого кута прямокутного трикутника: якщо бісектриса гострого кута ділить протилежний кут катету на дві рівні частини, то вона ділить катет на відрізки, довжини яких пропорційні довжинам частин протилежного кута.

Позначимо довжину першого відрізка катету як x, а довжину другого відрізка (тобто ділянку катету, яка ділиться бісектрисою) як y.

За властивістю бісектриси, маємо:

x/y = y/(10 - y).

Тепер знайдемо значення y:

x/y = y/(10 - y)

x(10 - y) = y^2

10x - xy = y^2

y^2 + xy - 10x = 0.

Це квадратне рівняння. Розв'яжемо його.

y = [-x ± √(x^2 + 4 * 10 * x)] / 2

y = [-x ± √(x^2 + 40x)] / 2

y = [-x ± √(x(x + 40))] / 2.

Так як y (довжина відрізку катету) не може бути від'ємним значенням, тому знак "±" замінимо на "+".

y = [-x + √(x(x + 40))] / 2.

Тепер маємо значення y, яке становить одну зі сторін прямокутного трикутника. Знайдемо довжину другої сторони (за допомогою теореми Піфагора):

гіпотенуза^2 = перший катет^2 + другий катет^2

гіпотенуза^2 = 6^2 + ([-x + √(x(x + 40))] / 2)^2.

гіпотенуза^2 = 36 + ([-x + √(x(x + 40))] / 2)^2.

Тепер, знаючи довжину гіпотенузи і довжини катетів, можемо знайти площу трикутника.

Площа трикутника = (перший катет * другий катет) / 2

Площа трикутника = (6 * [-x + √(x(x + 40))] / 2) / 2.

Площа трикутника = 3 * [-x + √(x(x + 40))].

Звідси вже можна знайти числове значення площі, якщо відома довжина катету (наприклад, x = 6 см) і знайдене вираз підставити в формулу. Значення x в задачі не вказано, тому точне число площі трикутника ми не можемо знайти.