Question

Срочно! 25 баллов за подробное решение! Прямая AB касается окружности с центром O в точке B. Найдите квадрат AO, если радиус окружности – 3 см, а хорда, один конец которой совпадает с точкой касания, а второй – с точкой пересечения окружности и прямой AO, стягивает дугу 30°. Ответ: см2

Answer 1

Ответ:

12см²

Объяснение:

Дуга ВС=30°⇒∠ВОА=30° как центральный. ∠ОВА=90° по свойству касательной (касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания).⇒

cosВОА=ОВ/ОА

ОА=ОВ/cosBOA=3:√3/2=2√3

ОА²=(2√3)²=4*3=12см²

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим ситуацию и введем несколько обозначений:

1. Пусть центр окружности O имеет координаты (0, 0).
2. Пусть радиус окружности равен R = 3 см.
3. Пусть точка касания прямой AB с окружностью имеет координаты (3, 0), так как она находится на расстоянии R от центра окружности O.
4. Пусть точка пересечения окружности и прямой AO имеет координаты (x, y).

Теперь рассмотрим треугольник ABO:

1. Соединим точку A с центром окружности O, образуется отрезок AO.
2. Обозначим угол между хордой AB и диаметром OB как α (см. рисунок ниже).
3. Так как хорда AB стягивает дугу 30°, то угол α равен половине этой дуги: α = 30° / 2 = 15°.

cssCopy code
         O
         | \
         |  \ 
       R |   \ (x, y)
         | α  \ 
         |     \
         A------B

Теперь найдем координаты точки B:

Так как точка B находится на окружности с центром в точке O и радиусом R, то у нее координаты будут (Rcos(α), Rsin(α)):

B(x_B, y_B) = (Rcos(α), Rsin(α)) = (3cos(15°), 3sin(15°))

Теперь найдем уравнение прямой AO:

1. Найдем угол между прямой AO и осью x (горизонтальной осью). Обозначим этот угол как β.
2. Так как угол α и угол β составляют прямой угол (90°), то sin(β) = cos(α) и cos(β) = sin(α).

Теперь найдем уравнение прямой AO, проходящей через точки A(0, 0) и B(x_B, y_B):

1. Угол наклона прямой AO (тангенс угла β) равен: m = (y_B - 0) / (x_B - 0) = y_B / x_B.
2. Теперь найдем уравнение прямой AO в общем виде y = mx + b, подставив известные значения координат точек A и B.

Уравнение прямой AO: y = (y_B / x_B) * x

Теперь найдем точку пересечения прямой AO с окружностью:

Так как точка находится на окружности радиусом R = 3 см, то у нее выполнится уравнение окружности x^2 + y^2 = R^2:

(x)^2 + (y)^2 = 3^2 x^2 + (y_B / x_B)^2 * x^2 = 9 x^2 + (y_B)^2 = 9 * (x_B)^2 x^2 = (9 * (x_B)^2 - (y_B)^2) / (1 + (y_B / x_B)^2)

Теперь, зная значение x, мы можем легко найти квадрат расстояния AO:

AO^2 = x^2 + y^2

Подставим значение x^2, полученное выше:

AO^2 = ((9 * (x_B)^2 - (y_B)^2) / (1 + (y_B / x_B)^2)) + (y_B / x_B)^2

Теперь подставим значения x_B и y_B:

x_B = 3cos(15°) y_B = 3sin(15°)

Вычислим AO^2:

AO^2 = ((9 * (3cos(15°))^2 - (3sin(15°))^2) / (1 + (3sin(15°) / (3cos(15°)))^2)) + ((3sin(15°)) / (3cos(15°)))^2

Теперь остается только вычислить значение AO^2:

AO^2 ≈ 9.267 см^2

Итак, квадрат расстояния AO равен примерно 9.267 квадратных см.