Question

Прямая AB касается окружности с центром O в точке B. Найдите AO, если радиус окружности – 3 см, а хорда, один конец которой совпадает с точкой касания, а второй – с точкой пересечения окружности и прямой AO, стягивает дугу 30°.

Answer 1

∠О-центральный, равен дуге, а которую опирается⇒∠О=30°,⇒
∠A=90-30=60°
По теореме синусов:
ОВ/sinA=OA/sinB⇒
OA=OB*sin90°/sin60°=3*2/√3=2√3

Answer 2

Для решения данной задачи, воспользуемся свойствами касательных и хорд окружности.

По свойству касательной, угол между касательной и радиусом, проведённым к точке касания, равен 90°. Таким образом, треугольник AOB является прямоугольным, где O - центр окружности, A - точка пересечения хорды и прямой AO, а B - точка касания.

Угол между хордой и радиусом, проведённым к точке пересечения хорды и окружности, равен половине соответствующей центрального угла. Так как хорда стягивает дугу 30°, то центральный угол равен 2 * 30° = 60°. Следовательно, угол AOB равен 60°.

Так как треугольник AOB прямоугольный, мы можем использовать тригонометрический соотношение тангенса, чтобы найти AO. Тангенс угла AOB равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

tan(AOB) = AB / AO

Заметим, что AB равно радиусу окружности и составляет 3 см. Подставим эти значения в уравнение:

tan(60°) = 3 / AO

Используя табличные значения тангенса 60°, получим:

√3 = 3 / AO

Перенесём AO влево и применим обратную операцию квадратного корня:

AO = 3 / √3 = 3√3 / 3 = √3

Таким образом, AO равно √3 см.