Question

В прямоугольном треугольнике с острым углом 30 больший катет равен 18 см. На какие отрезки делит этот катет биссектриса большего острого угла треугольника ? (Дано, Найти, Решение)

Answer 1

Ответ:

6 и 12 см

Объяснение:

Дано: ΔАВС; ∠С=90°; ∠А=30°; АС=18 см; т.D∈AC; BD - биссектриса ∠В.

Найти СД и ДА.

Решение:

∠В (ΔАВС)=180-90-30=60°; ВД - биссектриса (по условию), значит, ∠СВД=∠АВД=30°, т.е. ΔАВД - равнобедренный с равными боковыми сторонами АД=ВД. А в прямоугольном ΔДВС сторона ВД - гипотенуза, которая равна удвоенному катету СД, который лежит против угла в 30°. Имеем: 2СД=ВД=АД, 2СД=АД, т.е. сторона АС разбита на отрезки, относящиеся как 1:2. АС=18 см, значит, СД=6 см, а АД=12 см.

Answer 2

Дано: В прямоугольном треугольнике с острым углом 30°, больший катет равен 18 см.

Найти: На какие отрезки делит этот катет биссектриса большего острого угла треугольника.

Решение:

1. Пусть треугольник ABC является прямоугольным, причем угол BAC = 90°, угол BCA = 30°. Пусть BC - больший катет (заданный катет) длиной 18 см, а AB - гипотенуза.

2. Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то можно воспользоваться тригонометрическими соотношениями для нахождения других сторон треугольника. В частности, для острого угла 30°:

   tg(30°) = BC / AB

3. Рассчитаем синус и косинус угла 30°:

   sin(30°) = 1/2 cos(30°) = √3/2

4. По определению тангенса:

   tg(30°) = sin(30°) / cos(30°) = (1/2) / (√3/2) = 1 / √3 = √3 / 3

5. Теперь можем найти длину стороны AB (гипотенузы):

   AB = BC / tg(30°) = 18 / (√3 / 3) = 18 * (3 / √3) = 18 * √3 = 18√3 см

6. Теперь рассмотрим треугольник ABD, где AD - это биссектриса угла BAC (большего острого угла). Пусть AD делит BC на два отрезка: BD (краткий катет) и CD (длинный катет).

7. Поскольку AD является биссектрисой, то отношение длины BD к длине CD равно отношению длины AB к длине AC.

   BD / CD = AB / AC

8. Значение AC (меньший катет) мы можем найти, используя теорему Пифагора для треугольника ABC:

   AC^2 = AB^2 - BC^2 AC^2 = (18√3)^2 - 18^2 AC^2 = 324 * 3 - 324 AC^2 = 972 - 324 AC^2 = 648 AC = √648 = 18√4 = 18 * 2 = 36 см

9. Теперь можем найти длину CD:

   CD = BC - BD = 18 - BD

10. Подставим значения BD и CD в уравнение из пункта 7:

    BD / (18 - BD) = 18√3 / 36

11. Решим уравнение относительно BD:

    BD * 36 = (18 - BD) * 18√3 36BD = 1818√3 - 18BD√3 36BD + 18BD√3 = 1818√3 BD(36 + 18√3) = 1818√3 BD = (1818√3) / (36 + 18√3)

12. Выразим BD в числовом виде:

    BD = (1818√3) / (36 + 18√3) ≈ 10.39 см

13. Теперь найдем длину CD:

    CD = BC - BD = 18 - 10.39 ≈ 7.61 см

Ответ: Биссектриса большего острого угла треугольника делит больший катет на два отрезка, примерно 10.39 см и 7.61 см.