Question

1 із сторін трикутника дорівнює 30 сантиметрів а 2 сторона ділиться точкою дотику вписаного кола на відрізки завдовшки 12 сантиметрів і 14 сантиметрів, рахуючи від кінця невідомої сторони. Знайдіть радіус вписаного кола.

Answer 1

Радіус вписаного кола знайдемо з формули площі трикутника:

S = p·r; r = S/p, де S = √(p(p - AB)(p - BC)(p - AC)), p = 0,5(AB + BC + AC).

PC = MC = 12 см; ВР = ВК = 14 см; АК = АМ = х см (за властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки).

АВ = ВК + АК; 30 = 14 + х; х = 30 - 14 = 16 см.

Отже, АК = АМ = 16 см; p = 0,5(30 + 26 + 28) = 15 + 13 + 14 = 42 см;

S = √(42(42 - 30)(42 - 26)(42 - 28)) = √(42·12·16·14) = √(6²·7²·16·4) = 6·7·4·2 = 336 см²; r = 336/42 = 8 см.

Відповідь: 8 см.

Answer 2

Позначимо сторони трикутника як a, b і c, де a = 30 см - відома сторона, b - сторона, яка ділиться точкою дотику вписаного кола і має довжини 12 см, і c - сторона, яка також ділиться точкою дотику і має довжину 14 см. Нехай r - радіус вписаного кола.

Закон вписаних кутів каже нам, що довжини відрізків, які діляться точкою дотику на сторони трикутника, є відстанями від цієї точки до дотичних до вписаного кола. Таким чином, знаючи це, ми можемо записати наступні рівності:

b + 12 = c + 14 (1)

Також, знаючи, що площа трикутника може бути обчислена з використанням радіусу вписаного кола і півпериметру трикутника (p):

Площа трикутника (S) = p * r,

де p = (a + b + c) / 2.

Таким чином, площа трикутника може бути записана так:

S = p * r = (a + b + c) * r / 2 (2)

Також, ми знаємо формулу для площі трикутника виразом Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), де sqrt - корінь квадратний.

Тепер ми можемо поєднати формули (1) і (2):

sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)) = (a + b + c) * r / 2,

а тоді, піднімаємо обидві сторони до квадрату:

p * (p - a) * (p - b) * (p - c) = ((a + b + c) * r / 2)^2.

Тепер використовуємо формулу для p:

p = (a + b + c) / 2,

p = (30 + 12 + 14) / 2 = 56 / 2 = 28.

Тепер ми можемо підставити це значення в нашу рівняння:

28 * (28 - 30) * (28 - 12) * (28 - 14) = ((30 + 12 + 14) * r / 2)^2,

28 * (-2) * 16 * 14 = (56 * r / 2)^2,

-896 * 4 = 28^2 * r^2,

-3584 = 784 * r^2,

r^2 = -3584 / 784,

r^2 ≈ -4.57.

Тут виникає проблема, оскільки радіус не може бути від'ємним числом. Ймовірно, у вихідних даних або обчисленнях допущена помилка. Будь ласка, перевірте правильність вхідних даних і знову обчисліть радіус вписаного кола.