Question

Нужна помощь в решении задачи! Докажите, что если в тетраэдре два противоположных ребра перпендикулярны, то тетраэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится прямоугольник.

Answer 1

Докажем это предъявив построение такого сечения. Рассмотрим тетраэдр SABC. Сечение проведем так как показано на рисунке: стороны четырехугольника параллельны соответствующим ребрам в гранях, в которых эти стороны находятся. По условию SA перпендикулярно BC,  а значит соответствующий стороны четырехугольника также перпендикулярны. Аналогично и для оставшихся пар сторон. Итак, все углы четырехугольника равны 90 градусов, а, значит, он является прямоугольником

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим тетраэдр ABCD, где AB и CD - противоположные перпендикулярные ребра. Предположим, что точка пересечения плоскости сечения находится на ребре AB в точке M и на ребре CD в точке N.

Так как ребра AB и CD перпендикулярны, то они образуют прямой угол между собой. Обозначим этот угол как α.

Плоскость сечения, проходящая через ребра AB и CD, образует с плоскостью тетраэдра ABCD некоторый угол β.

Наша задача - выбрать такую точку M на ребре AB и такую точку N на ребре CD, чтобы угол β был прямым.

Допустим, мы выбрали точку M на ребре AB и точку N на ребре CD таким образом, что сечение плоскости проходит через ребра BC и AD, образуя прямоугольник BMNC.

Так как ребра AB и CD перпендикулярны, то угол α между ними равен 90 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник BNC. Угол NBC равен 90 градусов, так как ребро BC перпендикулярно ребру CD (по условию задачи).

Итак, у нас есть два угла в треугольнике BNC, равные 90 градусов. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, следовательно, третий угол BNC также равен 90 градусам.

Таким образом, у нас есть треугольник BNC с тремя углами по 90 градусов, что делает его прямоугольником.

Плоскость сечения, проходящая через точки M и N, пересекает тетраэдр ABCD так, что в сечении получается прямоугольник BMNC.

Таким образом, доказано, что если в тетраэдре два противоположных ребра перпендикулярны, то тетраэдр можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится прямоугольник.