Question

Здравствуйте! Срочно! Полное решение не обязательно, можно по короче или ответ. Ерунду не писать! Спасибо) Дам 30 баллов. В равнобедренном треугольнике ABC основание AC=6, а высота BD=9. Точка M равноудалена от всех вершин данного треугольника и находится на расстоянии 3 от плоскости, в которой он лежит. Вычислите расстояние l от точки M до вершины C треугольника. В ответ запишите значение l2

Answer 1

Ответ: l²=34

Объяснение: Точка M равноудалена от всех вершин данного треугольника, следовательно, все наклонные из М к вершинам, а, значит,  и к плоскости треугольника, равны, поэтому равны и их проекции ОС=ОВ=ОА и равны радиусу описанной около ∆ АВС окружности.

  Искомое расстояние МС - гипотенуза прямоугольного ⊿ МОС. Для её нахождения нужно найти  катет  ОС этого треугольника. ОС=R.

Формула радиуса описанной окружности R=a•b•c/4S ( где а, b и с - стороны треугольника).

S=BD•AC:2=9•6:2=27

  Боковые стороны ∆ (АВС) найдём из ⊿ АВD. Высота ВD в равнобедренном треугольнике ещё и медиана (свойство)

По т.Пифагора. АВ=√(BD²+AD²)=√(9²+3²)=√90

R=(√90•√90•6):4•27= 5

ОС=5 ⇒ МС²=(MO²+OC²)=3²+5²=34 ⇒ l²=34

Answer 2

Здравствуйте! Чтобы решить задачу, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и пирамиды.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Так как он равнобедренный, то высота BD также является медианой, проходящей через вершину C.

2. Рассмотрим пирамиду с вершиной M и основанием ABC. Поскольку точка M равноудалена от всех вершин треугольника ABC, то она находится на пересечении медиан.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что точка M - это точка пересечения медиан треугольника ABC.

4. Таким образом, точка M является центром тяжести треугольника ABC.

5. Расстояние от центра тяжести треугольника до вершины равно двум третям медианы.

6. Найдем длину медианы треугольника ABC из прямоугольного треугольника ABD:

   Мы знаем, что AC = 6 и BD = 9. Медиана AM делит отрезок BD в отношении 2:1 (по свойству медианы прямоугольного треугольника). Таким образом, AM = (2/3) * BD = (2/3) * 9 = 6.

7. Теперь находим расстояние l от точки M до вершины C треугольника ABC:

   Так как треугольник ABC равнобедренный, то AM и CM - это медианы, и точка M делит медиану AC пополам. Значит, MC = AM = 6.

8. Наконец, находим l^2:

   l^2 = MC^2 = 6^2 = 36.

Ответ: l^2 = 36.