Question

К плоскости прямоугольного треугольника ABC, m (A) = 90 проведён перпендикуляр AD=1 см. Найти площадь треугольника DBC, зная, что кареты AC = 3 см, АВ = 2 см.

Answer 1

Из ΔАВС (∠А = 90°): ВС = √(АВ² + АС²) = √(9 + 4) = √13 см

Из ΔАDВ (∠А = 90°): ВD = √(АВ² + АD²) = √(1 + 4) = √5 см

Из ΔАDC (∠А = 90°): CD = √(АC² + АD²) = √(9 + 1) = √10 см

Площадь ΔDВС найдём по формуле Герона

S = √(p(p - DВ)(p - DС)(p - BC)), p = (DВ + DС + BC) : 2 = (√5 + √10 + √13) : 2 см

S = √((√5 + √10 + √13) : 2((√5 + √10 + √13) : 2 - √5)((√5 + √10 + √13) : 2 - √10)((√5 + √10 + √13) : 2 - √13)) = √((√5 + √10 + √13) : 2((√10 + √13 - √5) : 2)((√5 + √13 - √10 ) : 2)(( √5 + √10 - √13) : 2)) =0,25√((√5 + √10 + √13)(√10 + √13 - √5)(√5 + √13 - √10)( √5 + √10 - √13))=0,25√((√13 + √10)² - 5)(√5 + √13 - √10)( √5 - (√13 - √10))=0,25√((√13 + √10)² - 5)( 5 - (√13 - √10)²)=0,25√((13 + 10 + 2√130 - 5)( 5 - 13-10 + 2√130))=0,25√((18 + 2√130)(2√130-18))=0,25√(4·130 - 324)= 0,25√(520 - 324)= 0,25√196 = 0,25·14 = 3,5 см².

Можно ещё через высоты треугольников площадь вычислить, а также с использованием формулы площади ортогональной проекции. Я выбрал формулу Герона, чтобы показать как можно преобразовывать иррациональные выражения.

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника DBC, нам нужно вычислить длину его высоты, опущенной из вершины D на сторону BC, и затем применить формулу для площади треугольника.

Давайте обозначим точку пересечения высоты с стороной BC за точку H.

Так как треугольник ABC - прямоугольный, то мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины стороны BC:

BC^2 = AB^2 + AC^2 BC^2 = 2^2 + 3^2 BC^2 = 4 + 9 BC^2 = 13 BC = √13 ≈ 3.605 см

Теперь у нас есть длина стороны BC. Чтобы найти площадь треугольника DBC, нам нужно найти длину высоты, опущенной из вершины D на сторону BC. Так как AD - перпендикуляр к BC, то у нас получается два подобных прямоугольных треугольника: DAB и DCH.

Мы знаем длину стороны AB (2 см) и длину AD (1 см), а также хотим найти длину CH (высоту треугольника DBC). Используем подобие треугольников:

AB / AD = CH / HD

2 / 1 = CH / HD

Теперь найдем HD (высоту треугольника DAB), используя теорему Пифагора:

HD^2 = AD^2 + AH^2 HD^2 = 1^2 + 2^2 HD^2 = 1 + 4 HD^2 = 5 HD = √5 ≈ 2.236 см

Теперь подставим HD в уравнение подобия:

2 / 1 = CH / 2.236

CH = 2 * 2.236 CH = 4.472 см

Таким образом, длина высоты треугольника DBC (CH) составляет 4.472 см.

Теперь, когда у нас есть длина высоты и длина стороны BC, мы можем вычислить площадь треугольника DBC:

Площадь DBC = (1/2) * BC * CH Площадь DBC = (1/2) * 3.605 * 4.472 Площадь DBC ≈ 8.055 кв. см

Таким образом, площадь треугольника DBC составляет приблизительно 8.055 квадратных сантиметров.