Question

Сторони основи прямого паралелепіпеда дорівнюють√3см і 4 см і утворюють кут 60°. Знайти об’єм паралелепіпеда, якщо його бічне ребро дорівнює 5 см.

Answer 1

Ответ:

$V = 30$ см³.

Объяснение:

1 способ.

Обозначим данный прямой параллелепипед буквами $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

$AB = \sqrt{3}$ см.

$BC = 4$ см.

$\angle A = 60^{\circ}$.

$DD_1 = 5$ см.

===============

$ABCD$ - параллелограмм (по определению параллелепипеда).

$V = S * h = AD * BE * DD_1$

$AD = BC$, по свойству параллелограмма.

Проведём высоту $BE$.

Рассмотрим $\triangle BEA$:

Он прямоугольный, так как $BE$ - высота.

По теореме о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике, $\angle ABE = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

А по теореме об угле в $30^{\circ}$ в прямоугольном треугольнике, $AE = \dfrac{1}{2} * AB = \dfrac{1}{2} * \sqrt{3} = \dfrac{\sqrt{3} }{2}$ см.

И по теореме Пифагора:

$BE^{2} = AB^{2} - AE^{2} =( \sqrt{3}) ^{2} - (\dfrac{\sqrt{3} }{2} )^{2} = \dfrac{9}{4}$

$BE = \sqrt{\dfrac{9}{4} } = \dfrac{3}{2}$ см.

$\Rightarrow V = 4 * \dfrac{3}{2} *5 = 30$ см³.

2 способ.

Обозначим данный прямой параллелепипед буквами $ABCDA_1 B_1C_1D_1$.

$AB = 4$ см.

$BC = \sqrt{3}$ см.

$\angle A = 60^{\circ}$.

$DD_1 = 5$ см.

===============

$ABCD$ - параллелограмм (по определению параллелепипеда).

$V = S * h = AD * BE * DD_1$

$AD = BC$, по свойству параллелограмма.

Проведём высоту $BE$.

Рассмотрим $\triangle BEA$:

Он прямоугольный, так как $BE$ - высота.

По теореме о сумме острых углов в прямоугольном треугольнике, $\angle ABE = 90^{\circ} - \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

А по теореме об угле в $30^{\circ}$ в прямоугольном треугольнике, $AE = \dfrac{1}{2} * AB = \dfrac{1}{2} * 4 = 2$ см.

И по теореме Пифагора:

$BE^{2} = AB^{2} - AE^{2} =4^{2} - 2^{2} = 12$

$BE = \sqrt{12 } = 2\sqrt{3}$ см.

$\Rightarrow V = \sqrt{3} *2\sqrt{3}* 5 = 30$ см³.

Answer 2

Для знаходження об'єму прямого паралелепіпеда, спочатку нам потрібно знайти довжину третьої сторони основи.

Позначимо довжину першої сторони основи як a (a = √3 см), довжину другої сторони основи як b (b = 4 см) і кут між цими сторонами як α (α = 60°).

Ми можемо використовувати косинусний закон для трикутників:

a^2 = b^2 + c^2 - 2 * b * c * cos(α),

де c - шукана довжина третьої сторони основи.

Підставляючи відомі значення:

c^2 = a^2 + b^2 - 2 * a * b * cos(α), c^2 = (√3)^2 + 4^2 - 2 * √3 * 4 * cos(60°), c^2 = 3 + 16 - 2 * 2 * cos(60°), c^2 = 19 - 4 * cos(60°).

Тепер знайдемо значення cos(60°):

cos(60°) = 0.5.

Підставимо це значення назад:

c^2 = 19 - 4 * 0.5, c^2 = 19 - 2, c^2 = 17.

Тепер знайдемо довжину третьої сторони основи:

c = √17 см (приблизно 4.123 см).

Тепер, коли ми знаємо довжину всіх трьох сторін основи та довжину бічного ребра (5 см), можемо знайти об'єм паралелепіпеда:

Об'єм = довжина * ширина * висота.

Об'єм = a * b * c, Об'єм = √3 см * 4 см * √17 см, Об'єм = 4√51 см³ (приблизно 35.7 см³).

Таким чином, об'єм прямого паралелепіпеда приблизно дорівнює 35.7 кубічних сантиметрів.