Question

Очень срочно! основание пирамиды прямоугольник одна из сторон которого равна 8 все боковые рёбра пирамиды равны 13 а её высотра равна 12 докажите что высота пирамиды прлходит через пересечения диагоналей​

Answer 1

Доказательство:  Назовем пирамиду МАВСD. МА=МВ=МС=МD=13, высота МО=12 и перпендикулярна основанию. Отрезки ОА=ОВ=ОС-ОD=5 ( отношения сторон из Пифагоровых троек). Треугольники МОА=МОВ=МОС=МОD по гипотенузе - (боковому ребру) и катету - высоте МО пирамиды.  Поэтому равные диагонали основания - прямоугольника- являются диаметрами описанной около него окружности, а высота проецируется в центр прямоугольника, т.е в точку пересечения его диагоналей.  Сторона прямоугольника 8 см оказалась для решения лишней.

Answer 2

Для доказательства того, что высота пирамиды проходит через пересечение диагоналей основания прямоугольника, мы должны показать, что в треугольнике, образованном двумя диагоналями основания и высотой пирамиды, выполняется свойство подобия.

Обозначим вершины прямоугольника A, B, C, и D, где AB = 8 (дано), а BC и AD равны 13 (дано). Тогда диагонали AC и BD также равны 13, так как прямоугольник ABCD — это равнобедренный прямоугольник.

Теперь рассмотрим пирамиду. Обозначим вершину пирамиды как P (вершина, противоположная основанию) и точку Q, где высота пирамиды пересекает диагонали основания AC и BD.

Теперь рассмотрим треугольник APQ. Он образован высотой пирамиды и двумя диагоналями основания AC и BD.

Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), то угол ABC равен углу BAC.

Теперь обратим внимание на треугольник AQC. Он также имеет угол BAC, так как угол QAC равен углу ABC. Кроме того, угол QCA равен углу CAB.

Таким образом, треугольник AQC подобен треугольнику ABC по углам.

Аналогичные рассуждения показывают, что треугольник BQC подобен треугольнику BCD по углам.

Теперь у нас есть две подобные треугольника в пирамиде: треугольник AQC подобен треугольнику ABC, а треугольник BQC подобен треугольнику BCD.

Таким образом, углы между высотой пирамиды и диагоналями основания равны углам между боковыми рёбрами пирамиды и диагоналями основания.

Из подобия треугольников следует, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны. То есть:

(AP / AQ) = (AB / AC) и (BQ / AQ) = (BC / BD).

Поскольку AB = 8, а BC и BD равны 13, мы можем записать:

(AP / AQ) = (8 / AC) и (BQ / AQ) = (13 / BD).

Теперь давайте рассмотрим треугольник PBQ. Из подобия треугольников AQC и BQC мы знаем, что угол BQA равен углу ACB, и угол BAQ равен углу BCD.

Теперь обратим внимание на треугольник PBQ. У него есть два угла, которые мы уже рассмотрели: угол BQA и угол BAQ.

Таким образом, углы BQA и BAQ образуют вертикальные углы (они лежат на пересечении прямых AQ и BQ), и, следовательно, они равны между собой.

Таким образом, треугольник PBQ является равнобедренным треугольником, и высота пирамиды PQ делит диагональ основания BQ пополам.

Аналогично, можно показать, что высота пирамиды PQ делит диагональ основания AQ пополам.

Таким образом, высота пирамиды проходит через пересечение диагоналей основания.