Question

Из точки K, лежащей вне окружности, проведены две касательные. Кратчайшеерасстояние от этой точки до окружности равнорадиусу окружности. Найдите угол междукасательными.С ЧЕРТЕЖОМ80 БАЛ ​

Answer 1

Решение на фото//////////

Answer 2

Чтобы найти угол между касательными из точки K, проведенными к окружности, давайте обозначим следующие величины:

• Пусть O - центр окружности.
• Пусть R - радиус окружности.
• Пусть M - точка касания одной из касательных с окружностью (ближайшая к точке K).
• Пусть N - точка касания второй касательной с окружностью.
• Пусть K - точка, из которой проведены касательные.

Из условия задачи известно, что расстояние от точки K до окружности равно радиусу R, что означает, что точка K лежит на перпендикуляре, опущенном из центра окружности O на касательную MN.

Теперь, чтобы найти угол между касательными, мы можем воспользоваться свойством пересекающихся хорд. Утверждается, что угол между двумя касательными, проведенными из одной точки внешней к окружности, равен углу между хордами, проведенными из этой точки к точкам касания на окружности.

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник OMK, где OK - радиус окружности, MK - катет (равен R, так как K лежит на перпендикуляре к MN), и угол OMK - это искомый угол между касательными.

Теперь, чтобы найти этот угол, мы можем использовать тригонометрию. Из прямоугольного треугольника OMK:

$\sin(\text{угол OMK}) = \frac{MK}{OK} = \frac{R}{R} = 1.$

Таким образом, $\sin(\text{угол OMK}) = 1$. Чтобы найти угол OMK, возьмем арксинус от обеих сторон уравнения:

$\text{угол OMK} = \arcsin(1) = 90^\circ.$

Таким образом, угол между касательными равен $90^\circ$.