Question

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведена высота AD. Определите длину AD, если BD = 4 см, СВ = 9 см. Указание: для решения воспользуйтесь утверждением, что высота прямоугольного треугольника разбивает его на два треугольника, подобных друг другу.

Answer 1

√5=2,236

АД=2√5=2*2,236=4,472≈4,5 см²

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством высоты прямоугольного треугольника, которое гласит, что высота делит прямоугольный треугольник на два треугольника, подобных друг другу и подобным исходному треугольнику.

Обозначим длину отрезка AD как x (см).

Теперь мы знаем следующее:

1. Площадь треугольника ABC = (1/2) * AB * BC (где AB и BC - катеты прямоугольного треугольника).
2. Площадь треугольника ABD = (1/2) * AB * BD (где AB и BD - катеты прямоугольного треугольника).
3. Площадь треугольника ACD = (1/2) * AD * DC (где AD и DC - катеты прямоугольного треугольника).

Поскольку треугольники ABD и ACD подобны треугольнику ABC, их площади также будут пропорциональны площади ABC.

Мы знаем, что ABD и ACD - это прямоугольные треугольники, а также AB = AC (по определению прямоугольного треугольника). Поэтому можно написать следующее уравнение:

(1/2) * AB * BD = (1/2) * AD * DC

Заменим известные значения в уравнении:

(1/2) * 9 * 4 = (1/2) * x * DC

Упростим:

18 = x * DC

Теперь нам нужно найти длину DC. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника ADC:

AC^2 = AD^2 + DC^2

Так как AB = AC и AD = x, заменим соответствующими значениями:

9^2 = x^2 + DC^2

81 = x^2 + DC^2

Теперь можем решить два уравнения одновременно:

18 = x * DC 81 = x^2 + DC^2

Из первого уравнения можно выразить DC:

DC = 18 / x

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

81 = x^2 + (18 / x)^2

Умножим обе стороны на x^2 для упрощения уравнения:

81x^2 = x^4 + 18^2

Получим квадратное уравнение:

x^4 - 81x^2 + 18^2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение. После нахождения значения x, найдем DC, используя первое уравнение. После этого можно будет найти AD, так как AD = x.

Прошу прощения, но решение этого уравнения выходит за пределы моих возможностей, поскольку оно требует численных методов. Можно воспользоваться калькулятором или численными методами для решения уравнения и найти значения AD и DC.

Резюмируя, длина AD может быть найдена путем решения квадратного уравнения, которое было получено из подобия треугольников ABD и ACD. Затем можно будет найти длину DC и, наконец, длину AD.