Question

Диагональ равнобокой трапеции, равная 10 см, образует с основанием угол в 30 градусов. Найти площадь трапеции

Answer 1

Ответ: 25√3 см².

Объяснение:

∠CAD = 30° - по условию; AC = 10 см.

∠BCA = ∠CAD = 30° как накрест лежащие при AD║BC и секущей АС.

Из вершины А проведем перпендикуляр до пересечения с продолжением стороны ВС, см. рисунок.

Из прямоугольного треугольника AHC: против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, т.е. AH = AC/2 = 10/2 = 5 см

по т. Пифагора: $CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$ см

AD = AE + EF + FD ⇔  AD + BC = AE + EF + BC + FD

AD + BC = AE + EF + EF + FD

Поскольку AE = FD, то AD + BC = 2EF + 2AE = 2(EF+AE)=2CH

AD + BC = 2 * 5√3 = 10√3 см.

$S=\dfrac{AD+BC}{2}\cdot AH=\dfrac{10\sqrt{3}}{2}\cdot 5=25\sqrt{3}$ см²

Answer 2

Следовательно, высота трапеции будет лежать против угла в 30°, и равна половине диагонали, которая является гипотенузой в треугольнике, отсекаемом высотой, т.е. равна 10/2=5/см/

Второй же катет этого треугольника состоит из верхнего основания и кусочка нижнего, который отсекается высотой от нижнего основания. Но это и будет полусумма верхнего и нижнего оснований, т.к. трапеция равнобедренная. И полусумма эта равна произведению гипотенузы на косинус угла в 30°, т.е. 10*√3/2=5√3/см/

Значит, площадь трапеции равна 5*5√3=25√3/см²/

Answer 3

Для нахождения площади равнобокой трапеции нужно знать длины её оснований и высоту. Давайте обозначим основания трапеции как "a" и "b", а длину высоты (расстояние между основаниями) обозначим как "h".

В данной задаче известно, что диагональ равнобокой трапеции равна 10 см, а угол между диагональю и одним из оснований составляет 30 градусов.

Для нахождения оснований, воспользуемся тригонометрическим соотношением для прямоугольного треугольника: тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Таким образом, тангенс 30 градусов равен h / (b/2) (половина одного из оснований, так как трапеция равнобокая).

Тангенс 30 градусов равен √3 / 3.

Теперь мы можем найти основание "b":

b/2 = h * (3 / √3)

b = 2h * (3 / √3)

Теперь нам нужно найти основание "a". Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного диагональю, половиной основания "b/2" и высотой "h":

(1/2 * b)^2 + h^2 = 10^2

(1/4 * b^2) + h^2 = 100

b^2 + 4h^2 = 400

Теперь подставим значение "b" из предыдущего расчёта:

(2h * (3 / √3))^2 + 4h^2 = 400

4h^2 * (3 / √3)^2 + 4h^2 = 400

4h^2 * (3 / 3) + 4h^2 = 400

4h^2 + 4h^2 = 400

8h^2 = 400

h^2 = 400 / 8

h^2 = 50

h = √50 ≈ 7.07 см

Теперь найдём основание "a":

a = b + 2h

a = 2h * (3 / √3) + 2h

a = 2 * 7.07 * (3 / √3) + 2 * 7.07

a = 14.14 * √3 + 14.14 ≈ 14.14 * 1.732 + 14.14 ≈ 24.49 см

Теперь, когда у нас есть значения оснований "a" и "b" и высоты "h", можем найти площадь трапеции по формуле:

Площадь = (a + b) * h / 2

Площадь = (24.49 + 14.14) * 7.07 / 2

Площадь ≈ 38.63 * 7.07 / 2

Площадь ≈ 273.53 / 2

Площадь ≈ 136.77 см²

Итак, площадь равнобокой трапеции составляет примерно 136.77 квадратных сантиметров.