Question

Теорема о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника (доказательство).

Answer 1

Суть теоремы следующая.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Докажем её.

Мы знаем, что сумма углов треугольника всегда равна 180°.

Один из углов прямоугольного треугольника - прямой, соответственно, его градусная мера - 90°.

Два оставшихся угла треугольника - острые. Сумма их градусных мер составляет: 180° - 90° = 90°.

Что и требовалось доказать.

Answer 2

В прямоугольном треугольнике один из углов является прямым (равен 90°), а два других угла называются острыми углами, так как они меньше 90°. Теорема о сумме двух острых углов прямоугольного треугольника гласит, что сумма этих двух острых углов всегда равна 90°.

Для доказательства этой теоремы мы воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольного треугольника.

Пусть у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где ∠A равен 90°, а ∠B и ∠C - острые углы.

Теперь проведем высоту CD из вершины C к гипотенузе AB. Это разделит прямоугольный треугольник на два меньших треугольника: прямоугольный треугольник ADC и прямоугольный треугольник BDC.

Так как треугольник ADC прямоугольный и ∠A равен 90°, а CD - это высота, то угол ∠CDA также равен 90°.

Теперь посмотрим на треугольник BDC. Он тоже является прямоугольным, и ∠B равен 90°. Так как угол ∠CDA равен 90°, то угол ∠CDB (острый угол треугольника BDC) будет дополнением до 180°, то есть ∠CDB = 180° - ∠CDA.

Теперь заметим, что угол ∠CDB и угол ∠C (острый угол прямоугольного треугольника ABC) образуют линейную пару, то есть их сумма равна 180°.

∠CDB + ∠C = 180° - ∠CDA + ∠C = 180°.

Теперь заметим, что ∠CDB и ∠B образуют пару вертикальных углов, и вертикальные углы равны между собой. Таким образом, ∠CDB = ∠B.

Теперь мы можем записать:

∠B + ∠C = 180°.

Но мы знаем, что ∠B + ∠C = 90° + 90° = 180°.

Таким образом, мы получаем, что ∠B + ∠C = ∠B + ∠C, что эквивалентно ∠B + ∠C = ∠A.

Это доказывает, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.