Question

В равнобедренном треугольнике ABC с равными сторонами AB и ВС биссектрисы АК и BL пересекаются в точке M, и известно,что площади треугольников ABM и ABK равны соответственно 30и 42 Найдите площадь треугольника ABC.​

Answer 1

Точка M лежит на биссектрисе угла B, следовательно равноудалена от сторон угла. Площади треугольников с равной высотой относятся как основания.

S(AMB)/S(BMK) =AB/BK =30/12 =5/2

AB=BC => BC/BK=5/2

S(BAC)/S(BAK) =BC/BK =5/2 =>

S(BAC)= 5/2 S(BAK) =42*5/2 =105

Answer 2

Пусть сторона треугольника ABC равна a, а высота, опущенная из вершины A, равна h.

Площадь треугольника ABM: S(ABM) = 30 Площадь треугольника ABK: S(ABK) = 42

Так как AM является биссектрисой угла BAC, то площади треугольников ABM и AMC относятся как соответствующие стороны:

S(ABM) / S(AMC) = BM / MC

Аналогично, так как BL является биссектрисой угла ABC, то площади треугольников ABK и BLC относятся как соответствующие стороны:

S(ABK) / S(BLC) = BK / KC

Так как треугольник ABC - равнобедренный, то BM = MC и BK = KC.

По условию задачи, S(ABM) = 30 и S(ABK) = 42:

30 / S(AMC) = 42 / S(BLC)

Так как BM = MC и BK = KC, то S(AMC) = S(ABC) и S(BLC) = S(ABC):

30 / S(ABC) = 42 / S(ABC)

Теперь мы знаем, что S(AMC) = S(ABC) и S(BLC) = S(ABC), поэтому можем записать:

30 / S(AMC) = 42 / S(BLC) = 1 / S(ABC)

Из этого получаем:

S(ABC) = 1 / (1/30 + 1/42)

Для нахождения общего знаменателя приведем дроби к общему знаменателю 1260:

S(ABC) = 1 / (42/1260 + 30/1260) S(ABC) = 1 / (72/1260) S(ABC) = 1260 / 72 S(ABC) = 17.5

Таким образом, площадь треугольника ABC равна 17.5 квадратных единиц.