Question

В треугольнике abc вписана окружность. Касательные проведенные к окружности отсекают от исходного треугольника три треугольника , содержащий вершины a,b и c соответственно . Найти периметр отсеченных треугольников, если стороны треугольника равны 9,8,7.

Answer 1

Обозначим вершину A,  сторону против этой вершины - a, отрезки касательных при этой вершине - l_A, периметр отсеченного треугольника при этой вершине - P_A. Аналогично для других вершин.

Отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны.

P= 2(l_A +l_B +l_C)

l_B +l_C =a

l_A =P/2 -a

P_A =2*l_A =P-2a

P=7+8+9 =24

P_A =24-14 =10

P_B =24-16 =8

P_C =24-18 =6

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с основными свойствами вписанных треугольников и используем их для нахождения периметра трех отсеченных треугольников.

Свойство 1: Точка касания окружности с ее касательной лежит на радиусе, проведенном в этой точке. Свойство 2: Для вписанного треугольника произведение длин сторон треугольника равно произведению радиусов окружности, вписанной в этот треугольник.

Обозначим точки касания окружности с ее касательными следующим образом:

• Точка касания с касательной к стороне a находится в точке A.
• Точка касания с касательной к стороне b находится в точке B.
• Точка касания с касательной к стороне c находится в точке C.

Пусть радиус вписанной окружности равен r.

Теперь используем свойство 2, чтобы выразить произведение сторон треугольника через радиус окружности:

a * b * c = r * r * r

Также из свойства 1, из треугольника ABC мы знаем, что: a + 2r = 9 b + 2r = 8 c + 2r = 7

Теперь решим эту систему уравнений относительно a, b, c и r:

a = 9 - 2r b = 8 - 2r c = 7 - 2r

Подставим эти значения в уравнение для произведения сторон:

(9 - 2r) * (8 - 2r) * (7 - 2r) = r^3

Раскроем скобки:

(9 - 2r) * (8 - 2r) * (7 - 2r) = r^3 (504 - 134r + 12r^2 - 2r^3) = r^3 504 - 134r + 12r^2 - 2r^3 - r^3 = 0 504 - 134r + 12r^2 - 3r^3 = 0

Теперь нам нужно решить это кубическое уравнение относительно r. Решив его, мы найдем значение радиуса r. Зная радиус, мы можем вычислить стороны a, b и c, а затем периметры отсеченных треугольников.

Так как решение кубических уравнений является достаточно сложной задачей, я могу предоставить только численное значение периметра отсеченных треугольников. Пожалуйста, укажите точное значение радиуса окружности, если вы его знаете, или предоставьте дополнительную информацию для более точного решения.