Question

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 20. Из середины гипотенузы проведён перпендикуляр до пересечения с большим катетом. Длина перпендикуляра 15. Найдите катеты, в ответе укажите меньший из них.

Answer 1

Ответ:

=====================

Объяснение:

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, где a < b. Зная, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна 20, а длина перпендикуляра, проведенного из середины гипотенузы к большему катету, равна 15, мы можем решить данную задачу.

Первым шагом найдем длину гипотенузы (c) с помощью медианы. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит треугольник на два других треугольника равных площади. Зная, что площадь прямоугольного треугольника равна (1/2) * a * b, можем записать:

(1/2) * a * b = (1/2) * (c/2) * 20 a * b = (c/2) * 20 a * b = 10c

Теперь найдем длину отрезка (x), который является половиной гипотенузы (c), используя теорему Пифагора для меньшего треугольника с катетами a и x:

a^2 + x^2 = (c/2)^2 a^2 + x^2 = (c^2)/4

Также, используя данные о перпендикуляре и медиане:

x + 15 = 20 x = 20 - 15 x = 5

Теперь, мы можем решить уравнение для a^2:

a^2 + 5^2 = (c^2)/4 a^2 + 25 = (c^2)/4

Мы уже знаем, что a * b = 10c, поэтому можем записать:

a * b = 10c a * b = 10 * (2x) a * b = 10 * (2 * 5) a * b = 10 * 10 a * b = 100

Теперь у нас есть два уравнения:

a^2 + 25 = (c^2)/4 a * b = 100

Решим первое уравнение:

a^2 + 25 = (c^2)/4 4a^2 + 100 = c^2

Теперь подставим второе уравнение в первое:

4a^2 + 100 = (a * b)^2 4a^2 + 100 = 100^2 4a^2 = 100^2 - 100 4a^2 = 10000 - 100 4a^2 = 9900 a^2 = 9900 / 4 a^2 = 2475

Теперь найдем a:

a = √2475 a ≈ 49.75

Теперь найдем b, используя a * b = 100:

b = 100 / a b = 100 / 49.75 b ≈ 2.01

Таким образом, меньший из катетов равен приближенно 2.01 (округлено до двух знаков после запятой).