Question

(18 БАЛЛОВ) В четырехугольника АВСD углы А и В равны 90 градусов. Докажите, что биссектрисы двух других углов четырехугольника пересекаются под прямым углом.​

Answer 1

Сумма углов четырехугольника равна 360°, т.е.

$\angle ADC+\angle BCD=180^\circ$

Так как $CC_1,~ DD_1$ - биссектрисы углов $BCD,~CDA$ соответственно, то $\angle BCC_1=\angle C_1CD;~ \angle CDD_1=\angle D_1DA$. Рассмотрим треугольник CDF: сумма углов треугольника равна 180°

$\angle DFC+\angle FCD+\angle CDF=180^\circ\\ \\ \angle DFC+\frac{1}{2}\angle BCD+\frac{1}{2}\angle CDA=180^\circ\\ \\ \angle DFC+\frac{1}{2}(\angle BCD+\angle CDA)=180^\circ\\ \\ \angle DFC+\frac{1}{2}\cdot 180^\circ=180^\circ\\ \\ \angle DFC=90^\circ$

Доказано.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором углы A и B равны 90 градусов.

Пусть M и N - точки пересечения биссектрис углов C и D, соответственно.

Чтобы доказать, что биссектрисы углов C и D пересекаются под прямым углом, достаточно доказать, что треугольник МНD прямоугольный.

Для этого рассмотрим следующие утверждения:

1. Биссектриса угла делит его на два равных угла.
2. В треугольнике сумма углов равна 180 градусов.

Из первого утверждения следует, что углы МСD и НDС равны между собой, так как M и N лежат на биссектрисах углов C и D соответственно.

Также, из второго утверждения следует, что угол D и угол МСN вместе составляют 180 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник МСD. В нем сумма углов равна 180 градусов (по свойству треугольника), и мы знаем, что угол МСD равен углу НDС.

Получается, что сумма углов D и угла НСD вместе составляют 180 градусов.

Поскольку углы D и угол МСN вместе составляют 180 градусов, а углы D и угол НСD вместе тоже составляют 180 градусов, то углы МСN и НСD равны между собой (они оба равны углу D).

Таким образом, угол МСN = углу НСD. Но это означает, что МНD - прямой угол, так как МСN и НСD - это две дополняющие друг друга части прямого угла.

Таким образом, мы доказали, что биссектрисы углов C и D пересекаются под прямым углом.