Question

Доказать, что вектора i, j, k являются векторами единичными и ортогональными.

Answer 1

Ответ:Пусть a = ( x, y, z ); b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw

Объяснение:Вектор – это направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве или в плоскости.

В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i, j и k, связанные с координатными осями: i – с осью Х, j – с осью Y и k – с осью Z.

Иными словами мы задаем базис в пространстве (сколь угодно мерном).  

Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = ( x, y, z ). Здесь x, y, z - координаты вектора a в этой системе координат.  

.

Answer 2

Для доказательства того, что вектора i, j и k являются единичными и ортогональными, нам нужно выполнить два шага: показать, что они единичные (имеют длину равную 1) и что они ортогональные (перпендикулярны друг другу).

1. Единичные векторы: Единичный вектор - это вектор, длина которого равна 1. Для декартовой системы координат, как в данном случае, единичные векторы обозначаются как i, j и k, и они имеют следующие значения:

i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1)

Длина вектора (x, y, z) вычисляется по формуле: √(x^2 + y^2 + z^2)

Давайте проверим длины векторов i, j и k:

Длина i: √(1^2 + 0^2 + 0^2) = √(1) = 1

Длина j: √(0^2 + 1^2 + 0^2) = √(1) = 1

Длина k: √(0^2 + 0^2 + 1^2) = √(1) = 1

Таким образом, все три вектора i, j и k являются единичными.

2. Ортогональные векторы: Вектора i, j и k также должны быть ортогональными, то есть они должны быть перпендикулярны друг другу. Это означает, что их скалярное произведение должно быть равно 0.

Скалярное произведение двух векторов (a, b, c) и (d, e, f) вычисляется следующим образом: ad + be + c*f

Выполним проверку для векторов i, j и k:

i * j = (1 * 0) + (0 * 1) + (0 * 0) = 0 i * k = (1 * 0) + (0 * 0) + (0 * 1) = 0 j * k = (0 * 0) + (1 * 0) + (0 * 1) = 0

Все три скалярных произведения равны 0, что означает, что вектора i, j и k ортогональны друг другу.

Таким образом, доказано, что вектора i, j и k являются единичными и ортогональными.