Question

В треугольнике с координатами вершин B(2:5)C(-3:1)D(7:2) проведена медиана BA A) найдите угол между векторами BA и BD B) найдите длину вектора BA

Answer 1

Дан треугольник с координатами вершин B(2; 5), C(-3; 1), D(7; 2).

A) найдите угол между векторами BA и BD.

Находим координаты точки А как середину СD.

А = ((-3+7)/2=2; (1+2)/2=1,5) = (2; 1,5).

Вектор ВА = (2-2=0; 1,5-5=-3,5) = (0; -3,5). Модуль = √(0² + (-3,5)²) = 3,5.

Вектор ВD = (7-2=5; 2-5=-3) = (5; -3). Модуль = √(25 + 9) = √34.

Скалярное произведение ВАхBD = 0*2+(-3.5)*(-3) = 10,5.

cos(ВА_BD) = 10,5/(3,5*√34) = 3/√34 ≈ 0,5145.

Ответ: угол (ВА_BD) = arc cos (3/√34) = 1,0304 радиан = 59,03624°.

B) найдите длину вектора BA - он уже ранее найден и равен 3,5.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать векторные операции.

1. Найдем векторы BA и BD: Вектор BA = AB = B - A = (2 - 0, 5 - 0) = (2, 5) Вектор BD = D - B = (7 - 2, 2 - 5) = (5, -3)

2. Найдем угол между векторами BA и BD: Угол между двумя векторами можно найти с помощью скалярного произведения векторов. Формула для нахождения угла между векторами v и u:

cos(θ) = (v · u) / (||v|| * ||u||)

где v · u - скалярное произведение векторов v и u, ||v|| и ||u|| - длины векторов v и u соответственно.

В нашем случае: cos(θ) = (BA · BD) / (||BA|| * ||BD||)

BA · BD = (2 * 5) + (5 * -3) = 10 - 15 = -5 ||BA|| = sqrt(2^2 + 5^2) = sqrt(4 + 25) = sqrt(29) ||BD|| = sqrt(5^2 + (-3)^2) = sqrt(25 + 9) = sqrt(34)

cos(θ) = -5 / (sqrt(29) * sqrt(34))

Теперь найдем значение угла θ, взяв обратный косинус (арккосинус) от cos(θ): θ = arccos(-5 / (sqrt(29) * sqrt(34)))

Пользуясь калькулятором или программой для вычисления тригонометрических функций, найдем приближенное значение угла θ.

3. Найдем длину вектора BA: Длина вектора BA (||BA||) вычисляется по формуле:

||BA|| = sqrt(2^2 + 5^2) = sqrt(4 + 25) = sqrt(29)

Таким образом, угол между векторами BA и BD равен θ (по вычисленному значению), а длина вектора BA равна sqrt(29).