Question

Дан треугольник ABC, в котором BC = 2AB. Точка D — середина стороныВС, точка K — середина отрезка BD. До-кажите, что AC = 2AK.​

Answer 1

В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.

В равностороннем треугольнике любая медиана является также биссектрисой и высотой.

Катет лежащий против угла в 30°равен половине гипотенузы

Answer 2

Для доказательства того, что AC = 2AK, мы можем использовать свойства серединных перпендикуляров.

Поскольку D является серединой стороны BC, отрезок AD является серединным перпендикуляром к стороне BC. Это означает, что AD перпендикулярен к BC и делит его пополам.

Также, поскольку K является серединой отрезка BD, отрезок AK является серединным перпендикуляром к отрезку BD. Следовательно, AK также перпендикулярен к BD и делит его пополам.

Теперь давайте рассмотрим треугольник ABD. Поскольку AD и AK являются серединными перпендикулярами, они равны по длине. То есть AD = AK.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. У нас есть условие, что BC = 2AB. Так как AD делит BC пополам, то BD = DC = BC/2 = AB.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник ACD. У нас есть, что AD = AK (как мы уже доказали), и BD = DC. Следовательно, AB + BD + DC = AB + BD + BD = 2AB + 2BD = 2(AB + BD) = 2(AD + DK) = 2(AK + DK) = 2AK + 2DK.

Однако DK является половиной отрезка BD, поэтому DK = BD/2 = AB.

Подставляя это обратно в наше равенство, получаем AB + BD + DC = 2AK + 2DK, что эквивалентно AB + AB + AB = 2AK + AB.

Сокращая AB со всех сторон, получаем 3AB = 2AK.

И, наконец, деля обе части равенства на 3, получаем AB = AK.

Таким образом, мы доказали, что AC = 2AK.