Question

точки A(5;-1;2) и B(1;3;-4) симметричны относительно плоскости альфа. напишите уравнение этой плоскости.

Answer 1

//////////////////////////////////

Answer 2

Чтобы точки A и B были симметричны относительно плоскости α, средняя точка отрезка AB должна лежать на этой плоскости.

Сначала найдем среднюю точку отрезка AB: Средняя точка = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 , (z₁ + z₂)/2 )

Где A(5, -1, 2) и B(1, 3, -4):

Средняя точка = ( (5 + 1)/2 , (-1 + 3)/2 , (2 - 4)/2 ) = ( 6/2 , 2/2 , -2/2 ) = ( 3 , 1 , -1 )

Теперь, чтобы получить уравнение плоскости α, проходящей через среднюю точку (3, 1, -1), используем уравнение плоскости в общем виде:

Ax + By + Cz + D = 0

где (A, B, C) - нормаль к плоскости, а (x, y, z) - координаты любой точки на плоскости.

Чтобы найти коэффициенты A, B и C, можно использовать векторное произведение двух векторов, лежащих в плоскости. Возьмем векторы AB и AC (где C - это точка на плоскости), и вычислим их векторное произведение:

AB = B - A = (1 - 5, 3 - (-1), -4 - 2) = (-4, 4, -6) AC = C - A = (x - 5, y - (-1), z - 2) = (x - 5, y + 1, z - 2)

Теперь найдем векторное произведение:

N = AB x AC = ((4 * (z - 2)) - ((-6) * (y + 1)), ((-4) * (x - 5)) - ((-6) * (z - 2)), ((-4) * (y + 1)) - (4 * (x - 5))) = (4z - 8 + 6y + 6, -4x + 20 + 6z - 12, -4y - 4 - 4x + 20)

N = (4z + 6y - 2, -4x + 6z + 8, -4y - 4 - 4x + 20)

Теперь, так как вектор (A, B, C) - нормаль к плоскости, мы можем использовать среднюю точку (3, 1, -1), чтобы найти D:

A * 3 + B * 1 + C * (-1) + D = 0

Подставим значения нормали (A, B, C) = (4, 6, -4):

4 * 3 + 6 * 1 - 4 * (-1) + D = 0 12 + 6 + 4 + D = 0 D = -22

Таким образом, уравнение плоскости α:

4x + 6y - 4z - 22 = 0