Question

Вершины четырехугольника ABCD имеют координаты: A (-3; 1), B (1; 3), C (3; -1), D (-1; -3). а) Докажите, что четырехугольник ABCD - квадрат. б) Вычислите длину радиуса окружности, вписанной в этот квадрат.

Answer 1

Ответ:

сделай график и тебе там уже все понятно будет.

там будет видно по клеткам, что это квадрат.

потом возьми центр квадрата и веди перпендикулярно до любой стороны(главное не в угол) и по считаешь сколько радиус ,все просто.

Answer 2

а) Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является квадратом, нам необходимо проверить два условия:

1. Все стороны четырехугольника равны друг другу.
2. Углы между сторонами четырехугольника равны 90 градусов.

Давайте проверим оба условия.

1. Расстояния между вершинами:

AB = sqrt((1 - (-3))^2 + (3 - 1)^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2sqrt(5) BC = sqrt((3 - 1)^2 + (-1 - 3)^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5) CD = sqrt((-1 - 3)^2 + (-3 - (-1))^2) = sqrt(16 + 4) = sqrt(20) = 2sqrt(5) DA = sqrt((-3 - (-1))^2 + (1 - (-3))^2) = sqrt(4 + 16) = sqrt(20) = 2sqrt(5)

Мы видим, что все стороны AB, BC, CD и DA равны 2*sqrt(5). Условие равенства всех сторон выполняется.

2. Вычислим углы между сторонами четырехугольника, используя координаты вершин и теорему косинусов.

Угол ABC: cos(ABC) = [(1 - (-3))(3 - 1) + (3 - 1)(1 - 1)] / [sqrt(16 + 4) * sqrt(4 + 0)] = [42 + 20] / [2sqrt(5) * 2] = 8 / (4sqrt(5)) = 2 / sqrt(5)

Угол BCD: cos(BCD) = [(3 - 1)(-1 - 3) + (-1 - 3)(-3 - (-1))] / [sqrt(4 + 16) * sqrt(16 + 4)] = [-2*(-4) + (-4)(-2)] / [2sqrt(5) * 2sqrt(5)] = 8 / (4sqrt(5)) = 2 / sqrt(5)

Угол CDA: cos(CDA) = [(-1 - (-3))(-3 - (-1)) + (-3 - (-1))(1 - (-3))] / [sqrt(16 + 4) * sqrt(4 + 16)] = [22 + (-2)(-4)] / [2sqrt(5) * 2sqrt(5)] = 8 / (4*sqrt(5)) = 2 / sqrt(5)

Угол DAB: cos(DAB) = [(-3 - (-1))(1 - (-3)) + (1 - (-3))(3 - 1)] / [sqrt(4 + 16) * sqrt(16 + 4)] = [-42 + 42] / [2sqrt(5) * 2sqrt(5)] = 0 / (4*sqrt(5)) = 0

Мы видим, что все углы ABC, BCD, CDA и DAB равны 2 / sqrt(5) и 0 градусов. Условие равенства углов выполняется.

Таким образом, учитывая оба условия, мы можем сделать вывод, что четырехугольник ABCD является квадратом.

б) Чтобы найти радиус окружности, вписанной в квадрат ABCD, мы можем использовать следующую формулу:

Радиус вписанной окружности (r) = половина длины стороны квадрата.

Длина стороны квадрата равна 2*sqrt(5), поэтому радиус вписанной окружности будет:

r = (2*sqrt(5)) / 2 = sqrt(5)

Таким образом, длина радиуса окружности, вписанной в данный квадрат ABCD, равна sqrt(5).