Question

Через центр пересечения диагоналей квадрата АВСД проведена перпендикуляр ОК к плоскости этого квадрата. Найти расстояние от точки К до вершин квадрата, если сторона квадрата равна 8см, а ОК=10см

Answer 1

Диагонали квадрата перпендикулярны, равны, точкой пересечения делятся пополам.

Сторона квадрата 8, половина диагонали AO=4√2 см.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой в плоскости.

AOK=90, из треугольника AOK по теореме Пифагора

AK= √(AO^2+OK^2) =√(32+100) =√132 =2√33  (см)

Треугольники AOK и BOK равны по двум катетам, AK=BK. Аналогично с остальными вершинами, точка K равноудалена от вершин основания.

(Пересечение диагоналей прямоугольника - центр описанной окружности. Если вершина пирамиды проецируется в центр описанной окружности основания - боковые ребра равны.)

Answer 2

Чтобы найти расстояние от точки К до вершин квадрата, воспользуемся свойствами перпендикуляра, диагоналей квадрата и подобия треугольников.

Поскольку ОК является перпендикуляром к плоскости квадрата, он проходит через центр пересечения диагоналей. Обозначим эту точку центра как М.

Так как сторона квадрата АВСД равна 8 см, диагональ будет равна 8√2 см, поскольку она является гипотенузой прямоугольного треугольника со сторонами, равными стороне квадрата.

Треугольник АМК подобен треугольнику АМВ, поскольку у них углы при вершине М являются прямыми углами, и у них общий угол АМК.

Из подобия треугольников АМК и АМВ можно записать пропорцию:

АК/АМ = КМ/МВ.

Мы знаем, что ОК = 10 см, и МВ = 8√2 см (половина диагонали квадрата). Также, АК + КМ = ОК = 10 см.

Подставляя известные значения в пропорцию, получаем:

АК/(АК + КМ) = КМ/МВ.

АК/10 = КМ/(8√2).

Перекрестное умножение дает:

АК * (8√2) = 10 * КМ.

АК = (10 * КМ) / (8√2).

Заменим КМ на (10 - АК):

АК = (10 * (10 - АК)) / (8√2).

Упростим выражение:

8√2 * АК = 10 * (10 - АК).

8√2 * АК = 100 - 10АК.

18АК = 100.

АК = 100 / 18.

АК ≈ 5.56 см.

Теперь мы можем найти КМ:

КМ = 10 - АК ≈ 10 - 5.56 ≈ 4.44 см.

Таким образом, расстояние от точки К до вершин квадрата приближенно равно 5.56 см, а расстояние от точки К до центра квадрата (М) приближенно равно 4.44 см.