Question

1. Докажите что треугольник АВС равнобедренный если у него высота BD является биссектрисой 2. Отрезки равной длины AB и CD пресекаются в точке O так, что АО = OD. Докажите равенство треугольников ABC и DCB.

Answer 1

1. Для доказательства равнобедренности треугольника ABC, при условии что высота BD является биссектрисой, нам нужно использовать свойства биссектрисы и равенство углов треугольника.

По условию, высота BD является биссектрисой угла B. Это означает, что она делит угол B на два равных угла. Обозначим эти углы как x.

Так как BD является высотой треугольника ABC, она перпендикулярна стороне AC. Обозначим точку пересечения высоты BD с основанием AC как E.

Теперь рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них есть следующие равные стороны и углы:

• Сторона AB общая для обоих треугольников.
• Сторона BD общая для обоих треугольников.
• Угол B общий для обоих треугольников.
• Углы ABD и CBD, так как BD является биссектрисой угла B.

Из этих равенств следует, что треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу, следовательно, у них равны и третьи стороны. Это означает, что AC = CB, что делает треугольник ABC равнобедренным.

Таким образом, мы доказали, что треугольник АВС равнобедренный при условии, что высота BD является биссектрисой.

2. Для доказательства равенства треугольников ABC и DCB, при условии что AB = CD и AO = OD, мы можем использовать свойство равных дуг и теорему о равенстве углов между хордами.

Из условия AB = CD следует, что дуги AC и BD, ограниченные этими отрезками, равны. Обозначим их как α и β соответственно.

Из условия AO = OD следует, что центр окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе угла AOD, и, следовательно, углы AOC и BOD равны.

Рассмотрим теперь треугольники AOC и BOD. У них есть следующие равные стороны и углы:

• Сторона AO общая для обоих треугольников.
• Сторона CO общая для обоих треугольников.
• Угол AOC и угол BOD равны.

Из этих равенств следует, что треугольники AOC и BOD равны по трем сторонам и следовательно равны в целом.

Теперь мы можем рассмотреть треугольники ABC и DCB. У них есть следующие равные стороны и углы:

• Сторона AB и сторона CD равны по условию.
• Сторона BC общая для обоих треугольников.
• Угол ABC равен углу DCB (оба угла соответствуют равным дугам α и β).

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и DCB равны, их стороны и углы соответствуют друг другу, а значит, они равны в целом.