Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность.Известно что BD=7,CD=8,BC<4,угол BAD=120 градусов.Определить угол CAD.

Answer 1

• Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, поэтому сумма противоположных углов равна 180°.

∠BAD+∠BCD = 180°;

∠BCA = 180°-∠BAD = 180°-120° = 60°

• Вписанные углы опирающиеся на одну дугу равны.

∠CAD - вписанный и опирается на ∪CD

∠CBD - вписанный и опирается на ∪CD

∠CAD = ∠CBD

• По теореме синусов в треугольнике CBD:

$\dfrac{CD}{\sin{CBD}} =\dfrac{BD}{\sin{BCA}}\\\\\sin{CBD}=\dfrac{CD\cdot \sin {BCA}}{BD} \\\\\sin{CBD}=\dfrac{8\cdot \sin{60^\circ }}7=\dfrac{8\cdot \frac{\sqrt3}{2}}7 =\dfrac{4\sqrt3 }7$

• По основному тригонометрическому тождеству (sin²α+cos²α=1):

$\cos^2{CBD} =1-\sin^2{CBD} =1-\left( \dfrac{4\sqrt3 }7 \right) ^2\\\\\cos^2{CBD} =\dfrac{49-16\cdot 3}{49} =\dfrac1{7^2}\\\\\cos{CBD} =\pm \dfrac17$

Пусть BC=x, тогда 0<x<4.

• Рассмотрим случай, когда cos(CBD) = 1/7

По теореме косинусов в треугольнике CBD:

$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cdot \cos{CBD} \\\\8^2=x^2+7^2-2x\cdot 7\cdot \dfrac17\\\\x^2-2x+49-64=0$

x²-2x-15 = 0

D = (-2)²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²

x₁ = (2+8)/2 = 10/2 = 5

x₂ = (2-8)/2 = -6/2 = -3

Ни один корень не подходит под условие 0<x<4.

• Теперь случай, когда cos(CBD) = -1/7

По теореме косинусов в треугольнике CBD:

$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cdot \cos{CBD} \\\\8^2=x^2+7^2-2x\cdot 7\cdot \left( -\dfrac17\right) \\\\x^2+2x+49-64=0$

x²+2x-15 = 0

D = 2²-4·1·(-15) = 4+60 = 8²

x₃ = (-2+8)/2 = 6/2 = 3

x₄ = (-2-8)/2 = -10/2 = -5

0 < x₃ < 4

x = 3 удовлетворяет условию, значит cos(CBD) = -1/7.

cos(CBD) < 0,  а sin(CBD) > 0. Поэтому ∠CBD - угол второй четверти, тогда ∠CBD = arccos(-1/7)

∠CAD = arccos(-1/7)

Ответ: arccos(-1/7).

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства вписанных углов.

Поскольку четырехугольник ABCD вписан в окружность, угол BCD является центральным углом, и его мера равна половине меры дуги BC на окружности. Поскольку BC < 4, дуга BC на окружности меньше полуокружности, и угол BCD меньше 180 градусов.

Также, угол CAD является вписанным углом, и его мера равна половине меры дуги CD на окружности.

Угол BAD равен 120 градусам, поэтому угол BCD равен 360 градусов минус 120 градусов, то есть 240 градусов.

Теперь мы можем использовать теорему о вписанных углах, которая говорит, что для вписанного угла его мера равна половине меры дуги на окружности, охватывающей этот угол. Поэтому угол CAD равен половине меры дуги CD, которая равна углу BCD, то есть 240 градусов, деленной на 2, что равно 120 градусам.

Таким образом, угол CAD равен 120 градусам.