Question

Найдите биссектрису AD треугольника ABC , если AB = 8 см , AC = 12 см и угол A = 60 градусов

Answer 1

Ответ:

AD = 4,8√3 ед.  ≈ 8,3 см.

Объяснение:

Дано: АВ=8, АС=12, ∠ВАС = 60° , AD - биссектриса.

По теореме косинусов в треугольнике АВС:

ВС² = АВ² + АС² -2·АВ·АС·Cos60° = 64+144 - 96 = 112.

ВС = √112 = 4√7.

По свойству биссектрисы BD/CD = AB/AC = 8/12 = 2/3.

Тогда BD = (2/5)·4√7 = 1,6√7 см.

DC = (3/5)·4√7 = 2,4√7.

По теореме косинусов в треугольнике АВD:

ВD² = АВ² + АD² - 2·АВ·АD·Cos30°  или

17,92 =  64 + АD² - AD·8√3.  =>

АD² -  AD·8√3 + 46,08 =0.

AD = 4√3 ± √(48 - 46,08 ) =  4√3 ± 0,8√3.

AD1 = AD =  4,8√3 см.  ≈ 8,3 см.

AD2 = AE = 3,2√3 см.  ≈ 5,54 см. (не удовлетворяет условию - смотри рисунок).

Или так:

По теореме косинусов в треугольнике АDС:

DС² = АC² + АD² - 2·АC·АD·Cos30°.  

40,32 = 144 + АD² -2·12·АD·√3/2. =>

АD² - 12·√3·АD + 103,68 =0

AD = 6√3 ± √(108 - 103,68) = 6√3 ± 1,2√3

AD1 = AD =  4,8√3 см.

AD2 = AF = 7,2√3 см. (не удовлетворяет условию - смотри рисунок).

P.S. Есть формула для биссектрисы треугольника:

L = √(a*b-e*d) (a и b - стороны угла; e и d - отрезки стороны с).

В нашем случае  a = 8, b = 12, e = 1,6√7, d = 2,4√7. Тогда:

L =  √(96-26,88) = √69,12 = 4,8√3 см.

Answer 2

Чтобы найти биссектрису AD треугольника ABC, мы можем использовать формулу биссектрисы, которая гласит:

AD = (2 * AB * AC * cos(A/2)) / (AB + AC)

где AB и AC - длины сторон треугольника, A - мера угла A.

Подставляя известные значения, мы получим:

AD = (2 * 8 см * 12 см * cos(60°/2)) / (8 см + 12 см)

Упрощая выражение, получим:

AD = (192 см^2 * cos(30°)) / 20 см AD = (192 см^2 * √3/2) / 20 см AD = (96 см * √3) / 20 см AD = (24√3) / 5 см

Таким образом, биссектриса AD треугольника ABC равна (24√3) / 5 см.