Question

Радіус кола,описаного навколо правильного многокутника зі стороною 16см,дорівнює 8√2 см.Знайдіть кількість сторін цього многокутника

Answer 1

Ответ: 4.

Объяснение:

Рассмотрим треугольник со сторонами а, R и R:

а²=R²+R²-2R²cosα   по теореме косинусов,

cosα=(2R²-а²) : 2R²;

cosα=1 - а²/2R²;

cosα=1 - 16²/(2*(8√2)²) = 1 - 256/(2*(64*2)) =1 - (256/256) = 0    ⇒ α=90°.

n=360°:90°=4.

Answer 2

Для правильного многокутника, описаного навколо кола, радіус цього кола дорівнює половині довжини діагоналі многокутника. Таким чином, діагональ дорівнює 16 см (задана сторона).

Маємо, що радіус кола дорівнює 8√2 см. Отже, половина діагоналі многокутника дорівнює 8√2 см.

Позначимо кількість сторін многокутника як "n". Для правильного многокутника з n сторонами маємо співвідношення між радіусом R, діагоналлю d та кількістю сторін n:

$R = \frac{d}{2 \sin(\frac{180°}{n})}$

Ми знаємо, що $R = 8√2$ см та $d = 16$ см.

$8√2 = \frac{16}{2 \sin(\frac{180°}{n})}$

Знаходження кута в синусі залежить від системи кутів, що використовується (градуси або радіани). Переконайтесь, що ви використовуєте одну і ту ж систему вимірювання кутів у всіх місцях.

У даному завданні підозріло використовувати "градуси", оскільки зазвичай у математичних задачах вимірювання кутів проводять у радіанах. Таким чином, якщо система вимірювання кутів є радіани, можемо продовжити обчислення.

$8√2 = \frac{16}{2 \sin(\frac{\pi}{n})}$

Тепер, можемо розв'язати рівняння для n:

$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{1}{√2}$

$\frac{\pi}{n} = \frac{\pi}{4}$

$n = 4$

Отже, правильний многокутник має 4 сторони (це квадрат).