Question

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом В проведена высота BD. На гипотенузе АС взята точка Р так, что АВ=АР. Докажите, что луч ВР является биссектрисой угла CBD

Answer 1

Объяснение:

1)ΔАВР -равнобедренный, значит ∠АВР=∠АРВ

2)∠СВР=90-∠АВР.

3) В ΔВДР-прямоугольный ∠ДВР=90-∠ВРД учитывая 1) имеем    ∠ДВР=90-∠АВР

3) Т.к.∠СВР=∠ДВР,  и ВР-их общий луч ( сторона) , то ВР-биссектриса.

Answer 2

Для доказательства того, что луч ВР является биссектрисой угла CBD, нам нужно показать, что угол ВРС (где С - точка пересечения высоты BD и луча ВР) равен углу ВРD.

Для этого рассмотрим два треугольника: треугольник АВС и треугольник АРС.

1. Треугольник АВС: У нас есть прямоугольный треугольник ABC, и из условия мы знаем, что BD является высотой, опущенной из вершины В на гипотенузу АС. Таким образом, треугольник АВС является подобным треугольнику ВРС (по правилу общей стороны).

2. Треугольник АРС: Мы знаем, что АВ = АР из условия задачи. Кроме того, угол ВАС является прямым углом (так как у нас прямоугольный треугольник), а угол РАС также является прямым углом (по определению углов, образованных лучом и его продолжением). Поскольку угол ВАС равен углу РАС (они прямые), а сторона АВ равна стороне АР, то треугольник АРС подобен треугольнику АВС (по правилу общей стороны).

Таким образом, у нас есть два подобных треугольника АВС и ВРС, и у них равные соответственные углы:

Угол АСВ = Угол ВРС (из-за подобия треугольников)

Теперь давайте рассмотрим треугольник ВРD. Угол ВРС и угол ВРD образуют линейную пару углов (они лежат на одной прямой), и поэтому они равны:

Угол ВРС = Угол ВРD

Таким образом, мы доказали, что угол ВРС равен углу ВРD. Из определения биссектрисы угла следует, что луч ВР является биссектрисой угла CBD.