Question

В треугольнике сумма квадратов двух сторон в пять раз больше квадрата третьей стороны. Определите величину наибольшего из углов, полученных при пересечении медиан данного треугольника.

Answer 1

Ответ:

Наибольший угол из углов, полученных при пересечении медиан данного треугольника равен 90°.

Объяснение:

Пусть дан треугольник АВС, где сторона АВ = с, ВС = а и АС = b.

Нам дано: a²+b² = 5·c² => треугольник остроугольный (из теоремы о неравенстве треугольника), причем 2a²+2b² = 10c².

По формуле медианы, проведенной к стороне АВ, имеем:

Mc = (1/2)·√(2a²+2b² - c²) = (1/2)·√(10с² - c²) = (3/2)·с.

Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда отрезок МО = (1/3)·МС = (1/3)·(3/2)·с = (1/2)·с.

В треугольнике АВО медиана МО равна половине стороны, к которой она проведена => треугольник АВО прямоугольный, угол АОВ = 90°.

∠ВОН = 90°, как смежный с ∠АОВ. => угол АОР = 90°, как вертикальный с ∠ВОН. Остальные углы, образованные пересечением медиан: ∠АОМ, ∠МОВ, ∠СОН и ∠СОР меньше, так как являются составными частями углов по 90°.

Answer 2

Пусть у треугольника стороны имеют длины a, b и c, а медианы пересекаются в точке G (центре масс треугольника). Тогда длины медиан, исходящих из вершин, будут равны 2/3 от соответствующей стороны.

Для начала рассмотрим сумму квадратов двух сторон в пять раз больше квадрата третьей стороны:

a^2 + b^2 = 5c^2 b^2 + c^2 = 5a^2 c^2 + a^2 = 5b^2

Теперь рассмотрим квадраты длин медиан треугольника. Пусть M(a), M(b) и M(c) - точки, в которых медианы пересекают стороны треугольника.

M(a)G^2 = (2/3 * b)^2 + (2/3 * c)^2 = 4/9 * (b^2 + c^2) M(b)G^2 = (2/3 * a)^2 + (2/3 * c)^2 = 4/9 * (a^2 + c^2) M(c)G^2 = (2/3 * a)^2 + (2/3 * b)^2 = 4/9 * (a^2 + b^2)

Так как M(a), M(b) и M(c) - точки пересечения медиан, сумма квадратов длин медиан должна равняться сумме квадратов сторон треугольника:

M(a)G^2 + M(b)G^2 + M(c)G^2 = a^2 + b^2 + c^2

Теперь подставим выражения для M(a)G^2, M(b)G^2 и M(c)G^2:

4/9 * (b^2 + c^2) + 4/9 * (a^2 + c^2) + 4/9 * (a^2 + b^2) = a^2 + b^2 + c^2

Упростим уравнение:

4/9 * (2a^2 + 2b^2 + 2c^2) = a^2 + b^2 + c^2

4/9 * 2(a^2 + b^2 + c^2) = a^2 + b^2 + c^2

Умножим обе стороны на 9/2, чтобы избавиться от дроби:

2(a^2 + b^2 + c^2) = 9/2 * (a^2 + b^2 + c^2)

2(a^2 + b^2 + c^2) = 9/2 * 5c^2 (по условию задачи)

2(a^2 + b^2 + c^2) = 45c^2

Теперь делим обе стороны на c^2 (предполагая, что c ≠ 0):

2(a^2 / c^2 + b^2 / c^2 + 1) = 45

a^2 / c^2 + b^2 / c^2 = 45 / 2 - 1

a^2 / c^2 + b^2 / c^2 = 43 / 2

Но мы знаем из третьего уравнения в начале, что c^2 / a^2 = 5, поэтому:

a^2 / c^2 = 1 / 5

b^2 / c^2 = 43 / 2 - 1 - 1 / 5 = 43 / 2 - 5 / 5 - 1 / 5 = 37 / 2

Теперь, чтобы найти a^2 / b^2, мы знаем из первого уравнения в начале, что a^2 / c^2 = 5:

a^2 / b^2 = (a^2 / c^2) / (b^2 / c^2) = 5 / (37 / 2) = 10 / 37

Теперь у нас есть отношения между a^2 / b^2 и b^2 / c^2. Рассмотрим соответствующие углы.

Пусть A, B и C - углы треугольника, соответствующие сторонам a, b и c соответственно. Пусть A', B' и C' - углы треугольника, соответствующие сторонам a^2, b^2 и c^2.

Из тригонометрических соотношений для треугольников можно сказать, что:

cos(A') = a^2 / c^2 = 1 / 5 cos(B') = b^2 / c^2 = 37 / 2 cos(C') = c^2 / b^2 = 2 / 37

Теперь найдем углы A' и B' (так как они являются наибольшими из углов, образованных медианами). Воспользуемся обратными косинусами:

A' = arccos(1 / 5) ≈ 78.46° B' = arccos(37 / 2) ≈ 8.37°

Таким образом, наибольший из углов, полученных при пересечении медиан данного треугольника, это угол A' ≈ 78.46°.