Question

Задача по геометрии, рисунка нет. В треугольнике одна из сторон равна 2 корня из 3 см, а прилежащие к ней углы 60 и 45 градусов. Найдите а) высоты треугольника; б) стороны треугольника

Answer 1

c=2√3, A=60, B=45

Ha =c*sinB =2√3 *√2/2 =√6

Hb =c*sinA =2√3 *√3/2 =3

C=180-A-B=75

sin75 =sin(30+45) =sin30cos45+sin45cos30 =(√3+1)/2√2 =1/√2(√3-1)

a =Hb/sinC =3√2(√3-1)

b =Ha/sinC =2√3(√3-1)

Hc =a*sinB =3(√3-1)

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится применить некоторые свойства треугольников и тригонометрические соотношения.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где сторона AB равна 2√3 см, угол A равен 60°, а угол B равен 45°. Задача состоит в том, чтобы найти высоты треугольника и длины его сторон.

а) Найдем высоты треугольника:

Высота треугольника, опущенная из вершины A, разделит треугольник на два прямоугольных треугольника. Поскольку угол A равен 60°, а угол B равен 45°, то в одном из этих прямоугольных треугольников углы будут 45° и 45°, а в другом - 30° и 60°.

Обозначим точку пересечения высоты с основанием как H, а длину этой высоты как h. Также обозначим длину отрезка BC как c, отрезка AC как b и отрезка AH как x.

В одном из прямоугольных треугольников с углами 45° и 45°, стороны будут равными: $AH = BH = x$.

В другом прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60°, стороны будут связаны следующим образом: $CH = AH \cdot \sqrt{3} = x \cdot \sqrt{3}$.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BHC: $(BH)^2 + (HC)^2 = (BC)^2$.

Подставим значения: $x^2 + (x\sqrt{3})^2 = (2\sqrt{3})^2$.

Решим уравнение для нахождения значения x: $x^2 + 3x^2 = 12$, $4x^2 = 12$, $x^2 = 3$, $x = \sqrt{3}$.

Теперь у нас есть значение высоты AH: $AH = x = \sqrt{3}$ см.

b) Найдем длины сторон треугольника:

Уже известно, что сторона AB равна 2√3 см. Теперь найдем длины сторон AC и BC.

Из прямоугольного треугольника BHC мы уже получили значение CH: $CH = x\sqrt{3} = \sqrt{3}$ см.

Теперь применим теорему косинусов в треугольнике ABC: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)$.

Где:

• a = AB = 2√3,
• b = AC,
• C = угол при вершине C (равен 90°).

Подставим значения: $b^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(90°)$, $b^2 = 12 + 3 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot 0$, $b^2 = 15$, $b = \sqrt{15}$ см.

Теперь, чтобы найти сторону BC, можем применить те же шаги: $b^2 = (2\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(45°)$, $b^2 = 12 + 3 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$, $b^2 = 15 - 3$