Question

В прямоугольной трапеции диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции, если боковые стороны равны 40 см и 32 см

Answer 1

.......................

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте обозначим трапецию и её параметры:

Пусть ABCD - прямоугольная трапеция, где: AB и CD - параллельные основания (стороны); AD и BC - боковые стороны; AC и BD - диагонали; AC - биссектриса острого угла.

Мы знаем, что боковые стороны равны 40 см и 32 см:

AD = 40 см BC = 32 см

Также, по условию, диагональ AC является биссектрисой острого угла. Это означает, что угол между сторонами AD и AC равен углу между сторонами AC и BC.

Теперь давайте разберемся с площадью трапеции. Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

Площадь = (сумма длин оснований) × (высота) / 2

Так как у нас есть диагональ AC, которая является биссектрисой острого угла, то высоту трапеции можно выразить через длину диагонали AC и угол между сторонами AD и AC (обозначим его как α). Поэтому:

Высота = AC × sin(α)

Теперь нужно найти угол α. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD, в котором угол CAD = α. Мы знаем длины катетов треугольника:

AD = 40 см AC = гипотенуза (диагональ) = ?

Для того чтобы найти длину диагонали AC, воспользуемся теоремой Пифагора:

AC² = AD² + CD² AC² = 40² + 32² AC² = 1600 + 1024 AC² = 2624 AC = √2624 ≈ 51.23 см

Теперь, найдем угол α:

sin(α) = AD / AC sin(α) = 40 / 51.23 α ≈ arcsin(40 / 51.23) α ≈ 42.13°

Теперь, найдем высоту:

Высота = AC × sin(α) Высота ≈ 51.23 см × sin(42.13°) Высота ≈ 51.23 см × 0.669 ≈ 34.28 см

Теперь, подставим значения в формулу для площади трапеции:

Площадь = (сумма длин оснований) × (высота) / 2 Площадь = (40 см + 32 см) × 34.28 см / 2 Площадь = 72 см × 34.28 см / 2 Площадь ≈ 1235.52 квадратных сантиметров

Ответ: площадь трапеции составляет приблизительно 1235.52 квадратных сантиметров.