Question

В правильном треугольнике KLM точки P, Q, R лежат на сторонах KL, LM, MK соответственно, причём KL:PL=LQ:QM=MR:RK=3:1. Докажите, что треугольник PQR-правильный.

Answer 1

В правильном треугольнике KLM точки P, Q, R лежат на сторонах KL, LM, MK соответственно, причём KL:PL=LQ:QM=MR:RK=3:1. Докажите, что треугольник PQR-правильный.

Answer 2

Для доказательства, что треугольник PQR является правильным, нам нужно показать, что все его стороны равны и углы равны 60 градусов.

Обозначим длины сторон правильного треугольника KLM как a, a и a (поскольку он правильный, все его стороны равны между собой).

Также обозначим длины отрезков, на которых лежат точки P, Q и R на сторонах треугольника KLM:

KP = 3x (так как KL:PL = 3:1) LQ = x (так как LQ:QM = 1:1) MR = x (так как MR:RK = 1:3)

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника PQR, используя расстояние между точками:

PR = KP + LQ + MR = 3x + x + x = 5x PQ = KL - KP - LQ = a - 3x - x = a - 4x QR = LM - LQ - MR = a - x - x = a - 2x

Теперь мы должны убедиться, что стороны треугольника PQR равны между собой (PQ = QR = PR) и углы равны 60 градусов.

1. Проверка равенства сторон: PQ = QR: a - 4x = a - 2x -4x = -2x x = 0

PR = PQ: 5x = a - 4x 9x = a x = a/9

QR = PR: a - 2x = 5x a = 7x

Таким образом, у нас получается a = 7x и x = a/9. Значит, стороны PQ, QR и PR равны между собой.

2. Проверка углов: Так как точки P, Q и R делят стороны правильного треугольника KLM на равные отрезки, то углы треугольника PQR равны углам правильного треугольника KLM.

Так как правильный треугольник KLM имеет все углы по 60 градусов, то углы треугольника PQR также равны 60 градусов.

Таким образом, мы показали, что треугольник PQR является правильным, так как у него все стороны равны между собой, а углы равны 60 градусов.