Question

Дан треугольник ABC, точка M - середина стороны AB, точка N - середина стороны BC, площадь AMNC = 60. Найдите: площадь ABC

Answer 1

точка M - середина стороны AB, точка N - середина стороны BC ⇒ МN - средняя линия ΔАВС,  MN || ВC , MN = ВC/2

Теорема 1: Средняя линия треугольника параллельна одному из сторон треугольника и равна ее половине.

MN || ВC ⇒ ΔABC подобен ΔMBN по двум углам

Теорема 2: Площади подобных треугольников относятся как квадрат их коэффициента подобия.

S (mbn) / S (abc) = (MN/AC)² = (1/2)² = 1/4

S (mbn) = (1/4) • S (abc)

S (amnc) = (3/4) • S(abc)

S (abc) = (4/3) • S (amnc) = (4/3) • 60 = 80

Ответ: 80

Answer 2

Пусть стороны треугольника ABC равны a, b и c, где сторона AB имеет длину a, BC - длину b, а AC - длину c.

Так как точка M - середина стороны AB, то AM = MB = a/2. Точно так же, так как точка N - середина стороны BC, то BN = NC = b/2.

Мы знаем, что площадь прямоугольника равна произведению его двух сторон. Площадь AMNC можно выразить как произведение длины AM на длину NC: S(AMNC) = AM * NC.

Так как S(AMNC) = 60, мы можем записать уравнение:

a/2 * b/2 = 60

Теперь найдем площадь треугольника ABC, используя формулу Герона:

S(ABC) = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника ABC, вычисляемый как (a + b + c) / 2.

Так как точка M - середина стороны AB и точка N - середина стороны BC, то точка C является серединой стороны AM. Это значит, что длина стороны AC равна AM = a/2. Таким образом, полупериметр треугольника ABC равен:

p = (a + b + c) / 2 = (a + 2 * (a/2) + b) / 2 = (a + a + b) / 2 = (2a + b) / 2 = a + b/2.

Теперь подставим выражение для полупериметра в формулу для площади ABC:

S(ABC) = √((a + b/2) * ((a + b/2) - a) * ((a + b/2) - b) * ((a + b/2) - c)).

Упростим это выражение:

S(ABC) = √((a + b/2) * (b/2) * (a/2) * (a/2)).

S(ABC) = √((a * a * b * b) / (2 * 2 * 2 * 2)).

S(ABC) = √(a^2 * b^2 / 16).

S(ABC) = (1/4) * a * b.

Теперь, зная, что S(AMNC) = 60, мы можем записать уравнение для площади ABC:

(1/4) * a * b = 60.

Теперь найдем площадь ABC:

S(ABC) = (1/4) * a * b = 60.

Получается, площадь треугольника ABC равна 60 * 4 = 240.