Question

Прямокутний трикутник з гострим кутом α вписано в коло радіуса r. Знайдіть катети трикутника.

Answer 1

Пусть ∠B = α. Центр описанной окружности прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, следовательно, BC = 2r.

sin α = AC/BC откуда AC = 2rsinα

cos α = AB/BC откуда AB = 2rcosα

Answer 2

Щоб знайти катети прямокутного трикутника з гострим кутом α, який вписаний в коло радіуса r, використовуємо такі властивості:

1. В прямокутному трикутнику гіпотенуза дорівнює діаметру вписаного кола. Таким чином, гіпотенуза трикутника дорівнює 2 * r.

2. З теореми Піфагора знаходимо величину другого катета: квадрат другого катета дорівнює квадрату гіпотенузи мінус квадрату першого катета.

Нехай катети трикутника позначені як b та c, тоді маємо такі співвідношення:

Гіпотенуза (a) = 2 * r Катет (b) = ? Катет (c) = ?

За теоремою Піфагора: a^2 = b^2 + c^2

Підставимо відомі значення: (2 * r)^2 = b^2 + c^2 4 * r^2 = b^2 + c^2

Також знаємо, що кут α є гострим, тому використовуючи тригонометричні відношення для синуса і косинуса гострого кута α:

sin(α) = b / a cos(α) = c / a

Ми знаємо a (гіпотенузу) як 2 * r. Тепер можемо знайти b і c:

b = a * sin(α) c = a * cos(α)

Підставимо відомі значення:

b = (2 * r) * sin(α) c = (2 * r) * cos(α)

Отже, залежно від відомих значень радіуса r та гострого кута α, можемо знайти катети b та c прямокутного трикутника.