Question

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90 гр.) медианы ВМ и СК пересекаются в точке О. Из точки С на ВМ опущен перпендикуляр СЕ так, что МЕ = 20 см. Найдите гипотенузу АВ, если МС = 30 см, точка О лежит на отрезке МЕ.

Answer 1

ΔBCM ~ ΔCEM по двум углам (∠BCM=90°=∠CEM и ∠BMC - общий), поэтому $\dfrac{CM}{BM} =\dfrac{EM}{CM}$.

Откуда BM = 900:2 = 45см

BE = BM-EM = 45-20 = 25см

В прямоугольном треугольнике CEM (∠E=90°):

по теореме Пифагора CE²=CM²-EM²=900-400=500см².

В прямоугольном треугольнике BEC (∠E=90°):

по теореме Пифагора BC²=BE²+CE²=625+500=1125см².

AC=2·MC=60см т.к. M - середина AC.

В прямоугольном треугольнике BCA (∠C=90°):

по теореме Пифагора AB²=BC²+AC²=1125+3600=4725см².

AB=$\displastyle \sqrt{4725}=\sqrt{25\cdot 9\cdot 21}=15\sqrt{21}$ см

Ответ: 15√21 см.

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медиан треугольника. Медиана делит сторону треугольника пополам. Исходя из этого свойства, мы можем записать:

МС = МО + ОС, ВМ = ВО + ОМ.

Так как точка О лежит на отрезке МЕ, то МЕ = МО + ОЕ.

Теперь мы знаем, что МЕ = 20 см и МС = 30 см, а также, что МС = МО + ОС и МЕ = МО + ОЕ.

Таким образом, у нас есть два уравнения:

1. 30 см = МО + ОС,
2. 20 см = МО + ОЕ.

Теперь давайте рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. Из него можем применить теорему Пифагора:

AB^2 = AV^2 + VB^2,

где AV и VB - катеты, а AB - гипотенуза.

Теперь обратимся к медианам. Если мы знаем, что медианы ВМ и СК пересекаются в точке О и делят друг друга пополам, то ОМ = МВ и ОС = СК.

Теперь мы можем записать:

1. ВО + ОМ = ВМ,
2. СО + ОС = СК.

Из первого уравнения получим:

ВО + МВ = ВМ, ВО + ВМ = ВМ, (так как ОМ = МВ).

Из второго уравнения:

СО + ОС = СК, СО + СК = СК, (так как ОС = СК).

Теперь у нас есть значения ВО и СО:

ВО = ВМ - МВ, СО = СК - ОС.

Известно также, что МЕ = МО + ОЕ, а МО = ВО = ВМ - МВ и ОЕ = МВ (так как точка О лежит на отрезке МЕ). Подставим значения в это уравнение:

20 см = (ВМ - МВ) + МВ.

Теперь можем выразить ВМ через МВ:

ВМ = 20 см.

Теперь зная значение МС = 30 см и ВМ = 20 см, можем рассмотреть треугольник МСВ:

AB^2 = AV^2 + VB^2, AB^2 = МС^2 + ВМ^2, AB^2 = 30^2 + 20^2, AB^2 = 900 + 400, AB^2 = 1300.

Теперь найдем гипотенузу AB:

AB = √1300 ≈ 36 см.

Таким образом, гипотенуза АВ прямоугольного треугольника ABC равна приблизительно 36 см.