Question

Діагональ квадратаABCD дорівнює 6. А кут між площиною цього квадрата і площиною його ортогональної проекції – 30 градусів. Знайдіть площу ортогональної проекції квадрата ABCD.

Answer 1

Ответ:

$9\sqrt{3}$

Объяснение:

1. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна площади проектируемого многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекций.

2. Найдем площадь квадрата ABCD. Так как квадрат - это ромб, можно найти его площадь по формуле площади ромба. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

В квадрате диагонали равны, значит площадь квадрат ABCD найдем так:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} *6*6 = 18$

3. По теореме в пункте 1 найдем площадь проекции:

$S_{npoek.} = S_{ABCD}*cos(30^{0}) = 18 * \frac{\sqrt{3}}{2} = 9\sqrt{3}$

Answer 2

Для знаходження площі ортогональної проекції квадрата ABCD, нам потрібно знайти довжину сторони проекції і обчислити площу за формулою площі квадрата.

Оскільки діагональ квадрата ABCD дорівнює 6, ми можемо використовувати властивості прямокутного трикутника, щоб знайти довжину сторони проекції.

У прямокутному трикутнику ABE (де E - точка перетину діагоналей), ми знаємо, що кут між площиною квадрата (ABCD) і площиною його ортогональної проекції (ABEF) становить 30 градусів.

Знаходимо значення косинуса 30 градусів: cos(30°) = √3/2 ≈ 0.866

Оскільки E - точка перетину діагоналей квадрата, то AE і BE - радіуси кола описаного навколо квадрата. Коло описане навколо квадрата ABCD має діаметр дорівнює діагоналі, тобто 6.

Тоді, за властивостями прямокутного трикутника ABE, використовуючи косинус кута 30 градусів, ми можемо записати:

AB = AE = BE = 6/2 = 3 (довжина сторони квадрата)

Тепер, знаючи довжину сторони квадрата ABCD (3), можемо обчислити площу ортогональної проекції (ABEF):

Площа квадрата ABEF = (сторона)^2 = 3^2 = 9

Отже, площа ортогональної проекції квадрата ABCD дорівнює 9 квадратним одиницям площі.