Question

В треугольнике ABC сторона AC в три раза больше стороны BC. Биссектриса CD пересекает медиану BM в точке O. Найти отношение площадей четырехугольника ADOM и треугольника BOC.

Answer 1

Решал сейчас в лоб, решил найти сразу все.

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся с известными свойствами треугольников и биссектрисы.

По условию, сторона AC в три раза больше стороны BC:

AC = 3 * BC

Также известно, что биссектриса CD пересекает медиану BM в точке O. Это означает, что точка O делит медиану BM на две равные части, то есть BO = OM.

Теперь давайте рассмотрим отношение площадей четырехугольника ADOM и треугольника BOC.

Обозначим основания высот из точек O и D как E и F соответственно, а точку пересечения биссектрисы с основанием BC как N. Таким образом, получим следующую схему:

cssCopy code
 A
/ \

/
/
D---F---M \ | / \ | / |/
O | N | B | C

Сначала найдем отношение площадей треугольников BOC и BON, так как эти треугольники имеют общую высоту BN.

Треугольник BOC имеет основание BC и высоту BN: Площадь BOC = (1/2) * BC * BN

Треугольник BON имеет основание BN и также высоту BN: Площадь BON = (1/2) * BN * BN = (1/2) * BN^2

Теперь заметим, что треугольник BOC и треугольник BON подобны, так как у них углы при вершине B равны, так как N находится на биссектрисе угла CBO.

Следовательно, отношение площадей BOC и BON равно отношению квадратов соответствующих сторон:

Площадь BOC / Площадь BON = (BC / BN)^2

Теперь давайте найдем отношение площадей BON и BAD, так как эти треугольники также имеют общую высоту BN.

Треугольник BON имеет основание BN и высоту BN: Площадь BON = (1/2) * BN^2

Треугольник BAD имеет основание BD и высоту BN: Площадь BAD = (1/2) * BD * BN

Из условия задачи мы знаем, что сторона AC в три раза больше стороны BC, то есть AC = 3 * BC. Также мы знаем, что точка O делит медиану BM на две равные части, то есть BO = OM.

Следовательно, BD = DC = 2 * BO = 2 * OM.

Таким образом, отношение площадей BON и BAD равно отношению квадратов соответствующих сторон:

Площадь BON / Площадь BAD = (BN / BD)^2 = (BN / (2 * OM))^2

Теперь мы можем найти отношение площадей четырехугольника ADOM и треугольника BOC:

(Площадь ADOM) / (Площадь BOC) = (Площадь ADOM) / (Площадь BON) * (Площадь BON) / (Площадь BOC) = ((BN / (2 * OM))^2) * ((BC / BN)^2)

Теперь заметим, что BN^2 сокращается, и остается только:

(Площадь ADOM) / (Площадь BOC) = (1 / (2 * OM))^2 * (BC / BN)^2

Так как мы знаем, что BO = OM, то BN = 2 * BO = 2 * OM:

(Площадь ADOM) / (Площадь BOC) = (1 / (2 * OM))^2 * (BC / (2 * OM))^2 = (BC / (4 * OM^2))

Таким образом, отношение площадей четырехугольника ADOM и треугольника BOC равно BC / (4 * OM^2).