Question

Вершини піраміди знаходяться у точках A, B, C і D. Обчислити: а) площу вказаної грані; б) площу перерізу, що проходить через середину ребра l і дві вершини піраміди; в) об’єм піраміди ABCD. A(4; 2; 3) B(5; 4; 2) C(5; 7; 4) D(6; 4; 7) a)ABD L=AD, B і C

Answer 1

Вершини піраміди знаходяться у точках A, B, C і D.

Обчислити: а) площу вказаної грані; a)ABD

б) площу перерізу, що проходить через середину ребра l і дві вершини піраміди; L=AD, B і C

в) об’єм піраміди ABCD.

A(4; 2; 3) B(5; 4; 2) C(5; 7; 4) D(6; 4; 7)  

Answer 2

Для обчислення площі грані ABDC ми можемо використовувати векторний аналіз. Площа грані може бути знайдена як половина векторного добутку векторів AB і AD (або BD).

а) Площа грані ABDC: Площа грані ABDC (S) може бути обчислена за допомогою формули для векторного добутку:

$S = \frac{1}{2} \| \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} \|.$

Спершу знайдемо вектори AB і AD:

$\mathbf{AB} = \mathbf{B} - \mathbf{A} = (5 - 4, 4 - 2, 2 - 3) = (1, 2, -1),$ $\mathbf{AD} = \mathbf{D} - \mathbf{A} = (6 - 4, 4 - 2, 7 - 3) = (2, 2, 4).$

Тепер знайдемо векторний добуток AB і AD:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 4 \\ \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 4 - 2 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 4 - 2 \cdot 4) + \mathbf{k}(1 \cdot 2 - 2 \cdot 2) = \mathbf{i} (10) + \mathbf{j}(-6) + \mathbf{k}(-2) = (10, -6, -2).\] Тепер знайдемо довжину цього векторного добутку: \[\| \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} \| = \sqrt{10^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 36 + 4} = \sqrt{140} \approx 11.83.\] Таким чином, площа грані ABDC: \[S = \frac{1}{2} \| \mathbf{AB} \times \mathbf{AD} \| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{140} \approx 5.91.\] Отже, площа грані ABDC приблизно дорівнює 5.91 квадратними одиницями. б) Площа перерізу через середину ребра l і дві вершини піраміди: Для обчислення площі перерізу, що проходить через середину ребра l і дві вершини піраміди, ми можемо розглядати цей переріз як прямокутний трикутник, утворений двома векторами з цих трьох точок. Один із векторів буде напрямлений з середини ребра l до вершини А (AB), а другий - до вершини В (ВD). Площа прямокутного трикутника може бути обчислена за допомогою формули: \[S = \frac{1}{2} \cdot \| \mathbf{AB} \| \cdot \| \mathbf{BD} \|.\] Ми вже знайшли вектори AB і BD раніше: \[\mathbf{AB} = (1, 2, -1),\] \[\mathbf{BD} = \mathbf{D} - \mathbf{B} = (6 - 5, 4 - 4, 7 - 2) = (1, 0, 5).\] Тепер знайдемо довжини цих векторів: \[\| \mathbf{AB} \| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6},\] \[\| \mathbf{BD} \| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 5^2} = \sqrt{26}.\] Тепер знайдемо площу перерізу: \[S = \frac{1}{2} \cdot \| \mathbf{AB} \| \cdot \| \mathbf{BD} \| = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{26} \approx 4.33.\] Отже, площа перерізу, що проходить через середину ребра l і дві вершини піраміди, приблизно дорівнює 4.33 квадратними одиницями. в) Об'єм піраміди ABCD: Для обчислення об'єму піраміди ABCD можемо використовувати формулу об'єму піраміди: \[V = \frac{1}{3} \cdot S_{\text{основи}} \cdot h,\] де \(S_{\text{основи}}\) - площа грані ABCD, а \(h\) - висота піраміди, яка може бути обчислена як відстань від вершини D до площини ABC. Знаючи координати точок A, B, C, і D, можемо знайти параметри необхідні для обчислення об'єму. Спочатку знайдемо вектор нормалі до площини ABC: \[\mathbf{n} = \mathbf{AB} \times \mathbf{AC}.\] Для зручності, знайдемо спочатку вектори AB і